Abstract A flat pseudo-Euclidean Lie algebra is a left-symmetric algebra endowed with a non-degenerate symmetric bilinear form such that left multiplications are skew-symmetric. We observe that, in many classes of flat pseudo-Euclidean Lie algebras, the left-symmetric product is actually of Novikov. This leads us to study pseudo-Euclidean Novikov algebras ( A , 〈 , 〉 ) , that is, Novikov algebra A endowed with a non-degenerate symmetric bilinear form such that left multiplications are skew-symmetric. We show that a Lorentzian Novikov algebra ( A , 〈 , 〉 ) must be transitive. This implies that the underlying Lie algebra A L must be unimodular. In geometrical terms, the left-invariant metric on a corresponding Lie group is geodesically complete. In this case, we show that the restriction of the product to [ A L , A L ] ⊥ is trivial. Using the double extension process, we prove that ( A , 〈 , 〉 ) is a pseudo-Euclidean Novikov algebra such that [ A L , A L ] is Lorentzian if and only if A L splits as A L = [ A L , A L ] ⊥ ⊕ [ A L , A L ] where [ A L , A L ] and [ A L , A L ] ⊥ are abelian, [ A L , A L ] is Lorentzian and ad x is skew-symmetric for any x ∈ [ A L , A L ] ⊥ . This also implies, in this case, that A is transitive, A L is unimodular and two-solvable. This result solves the problem for Lorentzian Novikov algebras such that [ A L , A L ] is non-degenerate. If [ A L , A L ] is degenerate, we show that such Lorentzian Novikov algebra is obtained by the double extension process from a flat Euclidean algebra, and we give some applications in low dimensions.

中文翻译：

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关于伪欧几里得 Novikov 代数

摘要 平坦拟欧几里得李代数是一种左对称代数，具有非退化对称双线性形式，使得左乘法是偏对称的。我们观察到，在许多类扁平伪欧几里得李代数中，左对称乘积实际上是诺维科夫的。这导致我们研究伪欧几里得诺维科夫代数 ( A , < , > ) ，即诺维科夫代数 A 具有非退化对称双线性形式，使得左乘法是偏对称的。我们证明洛伦兹诺维科夫代数 ( A , < , 〉 ) 必须是可传递的。这意味着底层李代数 AL 必须是单模的。在几何术语中，对应李群上的左不变度量是测地线完备的。在这种情况下，我们证明乘积对 [ AL , AL ] ⊥ 的限制是微不足道的。使用双重扩展过程，我们证明 ( A , 〈 , 〉 ) 是伪欧几里得诺维科夫代数，使得 [ AL , AL ] 是洛伦兹当且仅当 AL 分裂为 AL = [ AL , AL ] ⊥ ⊕ [ AL , AL ] 其中 [ AL , AL ] 和 [ AL , AL ] ⊥ 是阿贝尔矩阵，[ AL , AL ] 是洛伦兹矩阵，并且 ad x 对任何 x ∈ [ AL , AL ] ⊥ 都是斜对称的。这也意味着，在这种情况下，A 是可传递的，AL 是单模且可二解的。这个结果解决了洛伦兹诺维科夫代数的问题，使得 [ AL , AL ] 是非退化的。如果[ AL , AL ] 是退化的，我们证明这样的洛伦兹诺维科夫代数是从一个平坦的欧几里得代数的双重扩展过程中得到的，并且我们给出了一些低维的应用。AL ] 是洛伦兹当且仅当 AL 分裂为 AL = [ AL , AL ] ⊥ ⊕ [ AL , AL ] 其中 [ AL , AL ] 和 [ AL , AL ] ⊥ 是阿贝尔，[ AL , AL ] 是洛伦兹和 ad x 对任何 x ∈ [ AL , AL ] ⊥ 都是偏对称的。这也意味着，在这种情况下，A 是可传递的，AL 是单模和二可解的。这个结果解决了洛伦兹诺维科夫代数的问题，使得 [ AL , AL ] 是非退化的。如果[ AL , AL ] 是退化的，我们证明这样的洛伦兹诺维科夫代数是从一个平坦的欧几里得代数的双重扩展过程中得到的，并且我们给出了一些低维的应用。AL ] 是洛伦兹当且仅当 AL 分裂为 AL = [ AL , AL ] ⊥ ⊕ [ AL , AL ] 其中 [ AL , AL ] 和 [ AL , AL ] ⊥ 是阿贝尔，[ AL , AL ] 是洛伦兹和 ad x 对任何 x ∈ [ AL , AL ] ⊥ 都是偏对称的。这也意味着，在这种情况下，A 是可传递的，AL 是单模且可二解的。这个结果解决了洛伦兹诺维科夫代数的问题，使得 [ AL , AL ] 是非退化的。如果[ AL , AL ] 是退化的，我们证明这样的洛伦兹诺维科夫代数是从一个平坦的欧几里得代数的双重扩展过程中得到的，并且我们给出了一些低维的应用。在这种情况下，A 是可传递的，AL 是单模且可二解的。这个结果解决了洛伦兹诺维科夫代数的问题，使得 [ AL , AL ] 是非退化的。如果[ AL , AL ] 是退化的，我们证明这样的洛伦兹诺维科夫代数是从一个平坦的欧几里得代数的双重扩展过程中得到的，并且我们给出了一些低维的应用。在这种情况下，A 是可传递的，AL 是单模且可二解的。这个结果解决了洛伦兹诺维科夫代数的问题，使得 [ AL , AL ] 是非退化的。如果[ AL , AL ] 是退化的，我们证明这样的洛伦兹诺维科夫代数是从一个平坦的欧几里得代数的双重扩展过程中得到的，并且我们给出了一些低维的应用。