Abstract In this note, we provide a large class of moderate expanders with the exponents 3 8 and 5 13 over arbitrary finite fields and prime fields, respectively. Our main ingredients are an energy result due to the third, fourth, sixth listed authors and Shen (2019) and a theorem on two-variable expanding functions given by Hegyvari and Hennecart (2009). Using the same approach, we derive similar results in the setting of finite local and principal rings.

中文翻译：

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环上的适度扩张器

摘要 在这篇笔记中，我们提供了一大类中等扩展器，其指数分别为 3 8 和 5 13 任意有限域和素域。我们的主要成分是由第三、第四、第六位作者和 Shen (2019) 得出的能量结果以及 Hegyvari 和 Hennecart (2009) 给出的关于双变量扩展函数的定理。使用相同的方法，我们在有限局部环和主环的设置中得出类似的结果。