Abstract Let X be a rank one Riemannian symmetric space of noncompact type and Δ be the Laplace–Beltrami operator of X. The space X can be identified with the quotient space G / K where G is a connected noncompact semisimple Lie group of real rank one with finite center and K is a maximal compact subgroup of G. Thus G acts naturally on X by left translations. Through this identification, a function or measure on X is radial (i.e. depends only on the distance from eK), when it is invariant under the left-action of K. We consider right-convolution operators Θ on functions f on X defined by, Θ : f ↦ f ⁎ μ where μ is a radial (possibly complex) measure on X. These operators will be called multipliers. In particular Θ is a radial average when μ is a radial probability measure. Notable examples of radial averages are ball, sphere and annular averages and the heat operator. In this paper we address problems of the following type: Fix a multiplier, in particular an averaging operator Θ. Suppose that { f k } k ∈ Z is a bi-infinite sequence of functions on X such that for all k ∈ Z , Θ f k = A f k + 1 and ‖ f k ‖ M for some constants A ∈ C , M > 0 and a suitable norm ‖ ⋅ ‖ . From this hypothesis, we try to infer that f 0 , hence every f k , is an eigenfunction of Δ.

中文翻译：

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使用傅立叶乘法器表征拉普拉斯-贝尔特拉米算子的本征函数

摘要 设 X 为一阶非紧型黎曼对称空间，Δ 为 X 的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。 空间 X 可识别为商空间 G / K，其中 G 为实阶一的连通非紧半单李群具有有限中心且 K 是 G 的极大紧子群。因此 G 通过左平移自然地作用于 X。通过这种识别，X 上的函数或测度是径向的（即仅取决于与 eK 的距离），当它在 K 的左作用下不变时。我们考虑 X 上函数 f 上的右卷积算子 Θ 定义为， Θ : f ↦ f ⁎ μ 其中 μ 是 X 上的径向（可能是复数）度量。这些算子将称为乘数。特别地，当 μ 是径向概率度量时，Θ 是径向平均值。径向平均值的显着例子是球，球体和环形平均值以及热算子。在本文中，我们解决了以下类型的问题： 固定乘数，特别是平均算子 Θ。假设 { fk } k ∈ Z 是 X 上的一个双无穷函数序列，使得对于所有 k ∈ Z ，Θ fk = A fk + 1 和 ‖ fk ‖ M 对于一些常数 A ∈ C ，M > 0 和 a合适的范数 ‖ ⋅ ‖ 。从这个假设，我们试图推断 f 0 ，因此每个 fk ，都是 Δ 的特征函数。