The purpose of the present research is to investigate a general mixed type boundary value problem for the Laplace–Beltrami equation on a surface with the Lipschitz boundary 𝒞 in the non-classical setting when solutions are sought in the Bessel potential spaces \mathbb{H}^{s}_{p}(\mathcal{C}), \frac{1}{p}, 1. Fredholm criteria and unique solvability criteria are found. By the localization, the problem is reduced to the investigation of model Dirichlet, Neumann and mixed boundary value problems for the Laplace equation in a planar angular domain \Omega_{\alpha}\subset\mathbb{R}^{2} of magnitude 𝛼. The model mixed BVP is investigated in the earlier paper [R. Duduchava and M. Tsaava, Mixed boundary value problems for the Helmholtz equation in a model 2D angular domain, Georgian Math. J.27 (2020), 2, 211–231], and the model Dirichlet and Neumann boundary value problems are studied in the non-classical setting. The problems are investigated by the potential method and reduction to locally equivalent 2\times 2 systems of Mellin convolution equations with meromorphic kernels on the semi-infinite axes \mathbb{R}^{+} in the Bessel potential spaces. Such equations were recently studied by R. Duduchava [Mellin convolution operators in Bessel potential spaces with admissible meromorphic kernels, Mem. Differ. Equ. Math. Phys.60 (2013), 135–177] and V. Didenko and R. Duduchava [Mellin convolution operators in Bessel potential spaces, J. Math. Anal. Appl.443 (2016), 2, 707–731].

中文翻译：

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具有 Lipschitz 边界的曲面上 Laplace-Beltrami 方程的混合型边值问题

本研究的目的是在非经典设置中，当在贝塞尔势空间 \mathbb{H} 中寻找解时，研究 Laplace-Beltrami 方程在具有 Lipschitz 边界 𝒞 的曲面上的一般混合型边值问题^{s}_{p}(\mathcal{C}), \frac{1}{p}, 1. 找到 Fredholm 准则和唯一可解性准则。通过定位，将问题简化为研究Laplace方程在量级𝛼的平面角域\Omega_{\alpha}\subset\mathbb{R}^{2}中的模型Dirichlet、Neumann和混合边值问题. 模型混合 BVP 在较早的论文 [R. Duduchava 和 M. Tsaava，模型二维角域中亥姆霍兹方程的混合边值问题，乔治亚数学。J.27 (2020), 2, 211–231], 并在非经典环境中研究模型 Dirichlet 和 Neumann 边值问题。这些问题通过势方法和归约到局部等效 2\times 2 系统的 Mellin 卷积方程进行研究，该方程在 Bessel 势空间中的半无限轴 \mathbb{R}^{+} 上具有亚纯核。最近，R. Duduchava [Mellin 卷积算子在 Bessel 势空间中使用可允许的亚纯核，Mem 研究了这样的方程。不同。设备 数学。Phys.60 (2013), 135–177] 和 V. Didenko 和 R. Duduchava [贝塞尔势空间中的梅林卷积算子，J. 数学。肛门。Appl.443 (2016), 2, 707–731]。这些问题是通过势方法研究的，并在贝塞尔势空间中的半无限轴 \mathbb{R}^{+} 上简化为具有亚纯核的 Mellin 卷积方程的局部等效 2\times 2 系统。最近，R. Duduchava [Mellin 卷积算子在 Bessel 势空间中使用可允许的亚纯核，Mem 研究了这样的方程。不同。设备 数学。Phys.60 (2013), 135–177] 和 V. Didenko 和 R. Duduchava [贝塞尔势空间中的梅林卷积算子，J. 数学。肛门。Appl.443 (2016), 2, 707–731]。这些问题通过势方法和归约到局部等效 2\times 2 系统的 Mellin 卷积方程进行研究，该方程在 Bessel 势空间中的半无限轴 \mathbb{R}^{+} 上具有亚纯核。最近，R. Duduchava [Mellin 卷积算子在 Bessel 势空间中使用可允许的亚纯核，Mem 研究了这样的方程。不同。设备 数学。Phys.60 (2013), 135–177] 和 V. Didenko 和 R. Duduchava [贝塞尔势空间中的梅林卷积算子，J. 数学。肛门。Appl.443 (2016), 2, 707–731]。60 (2013), 135–177] 和 V. Didenko 和 R. Duduchava [贝塞尔势空间中的梅林卷积算子，J. 数学。肛门。Appl.443 (2016), 2, 707–731]。60 (2013), 135–177] 和 V. Didenko 和 R. Duduchava [贝塞尔势空间中的梅林卷积算子，J. 数学。肛门。Appl.443 (2016), 2, 707–731]。