In this work, we present approximate solutions of the modified Klein–Gordon containing an interaction of the modified unequal mixture scalar vector Hulthén–Yukawa potentials model (MUMSVHYa-PM) using the procedure of improved approximation of the centrifugal term, Bopp’s shift method and perturbation theory. This study is realized in the relativistic noncommutative three-dimensional real-space (RNC: 3D-RS) symmetries. The unequal mixture of scalar and vector Hulthén–Yukawa potentials model (UMSVHYa-PM) is extended by including new radial terms to become MUMSVHYa-PM. We show that the new energy shift depends on the global parameters characterizing the noncommutativity space-space and the confining potential parameter ( $$V_{0} ,S_{0} ,V_{_{0} }^{'} ,S_{_{0} }^{'} ,\delta )$$ V 0 , S 0 , V 0 ′ , S 0 ′ , δ ) in addition to the Gamma function and the discreet atomic quantum numbers $$\left( {j,l,s,m} \right) $$ j , l , s , m . Thus, the new energy eigenvalues appear as a function of the shift energy and the energy to the UMSVHYa-PM and ordinary energy spectrum corresponds to UMSVHYa-PM. The present results are applied in calculating both the energy spectrum and the new mass of mesons such as charmonium and bottomonium that have the quark and antiquark flavor. Furthermore, we obtained new energy eigenvalues of neutral atoms such as ( $$^{{22}}\mathrm{Na},^{{12}}{\mathrm{C}}$$ 22 Na , 12 C and $${}^{{158}}{\mathrm{Au}})$$ 158 Au ) atoms under MUMSVHYa-PM. We have also discussed some special cases of physical importance.

中文翻译：

---

改进的不等混合标量向量 Hulthén-Yukawa Potentials 模型作为夸克-反夸克相互作用和中性原子通过相对论处理使用改进的离心项近似和 Bopp 位移方法

在这项工作中，我们使用改进的离心项近似程序、Bopp 位移方法和扰动，提出了包含改进的不等混合标量向量 Hulthén-Yukawa 势模型 (MUMSVHYa-PM) 相互作用的改进 Klein-Gordon 的近似解理论。这项研究是在相对论非对易三维实空间（RNC：3D-RS）对称性中实现的。标量和矢量的不等混合 Hulthén-Yukawa 电位模型 (UMSVHYa-PM) 通过包括新的径向项扩展为 MUMSVHYa-PM。我们表明，新的能量转移取决于表征非交换性空间空间的全局参数和限制势参数 ( $$V_{0} ,S_{0} ,V_{_{0} }^{'} ,S_{ _{0} }^{'} ,\delta )$$ V 0 , S 0 , V 0 ′ , S 0 ′ , δ ) 除了 Gamma 函数和离散原子量子数 $$\left( {j,l,s,m} \right) $$ j , l , s , m 。因此，新的能量特征值表现为位移能量和 UMSVHYa-PM 能量的函数，普通能谱对应于 UMSVHYa-PM。目前的结果可用于计算具有夸克和反夸克味的介子（如charmonium和bottomonium）的能谱和新质量。此外，我们获得了中性原子的新能量特征值，例如 ( $$^{{22}}\mathrm{Na},^{{12}}{\mathrm{C}}$$ 22 Na , 12 C and $$ {}^{{158}}{\mathrm{Au}})$$ 158 Au ) 原子在 MUMSVHYa-PM 下。我们还讨论了一些具有物理重要性的特殊情况。新的能量特征值表现为位移能量和 UMSVHYa-PM 能量的函数，普通能谱对应于 UMSVHYa-PM。目前的结果可用于计算具有夸克和反夸克风味的介子（如charmonium和bottomonium）的能谱和新质量。此外，我们获得了中性原子的新能量特征值，例如 ( $$^{{22}}\mathrm{Na},^{{12}}{\mathrm{C}}$$ 22 Na , 12 C and $$ {}^{{158}}{\mathrm{Au}})$$ 158 Au ) 原子在 MUMSVHYa-PM 下。我们还讨论了一些具有物理重要性的特殊情况。新的能量特征值表现为位移能量和 UMSVHYa-PM 能量的函数，普通能谱对应于 UMSVHYa-PM。目前的结果可用于计算具有夸克和反夸克味的介子（如charmonium和bottomonium）的能谱和新质量。此外，我们获得了中性原子的新能量特征值，例如 ( $$^{{22}}\mathrm{Na},^{{12}}{\mathrm{C}}$$ 22 Na , 12 C and $$ {}^{{158}}{\mathrm{Au}})$$ 158 Au ) 原子在 MUMSVHYa-PM 下。我们还讨论了一些具有物理重要性的特殊情况。目前的结果可用于计算具有夸克和反夸克味的介子（如charmonium和bottomonium）的能谱和新质量。此外，我们获得了中性原子的新能量特征值，例如 ( $$^{{22}}\mathrm{Na},^{{12}}{\mathrm{C}}$$ 22 Na , 12 C and $$ {}^{{158}}{\mathrm{Au}})$$ 158 Au ) 原子在 MUMSVHYa-PM 下。我们还讨论了一些具有物理重要性的特殊情况。目前的结果可用于计算具有夸克和反夸克味的介子（如charmonium和bottomonium）的能谱和新质量。此外，我们获得了中性原子的新能量特征值，例如 ( $$^{{22}}\mathrm{Na},^{{12}}{\mathrm{C}}$$ 22 Na , 12 C and $$ {}^{{158}}{\mathrm{Au}})$$ 158 Au ) 原子在 MUMSVHYa-PM 下。我们还讨论了一些具有物理重要性的特殊情况。