For each positive integer n, let U(Z/nZ) denote the group of units modulo n, which has order φ(n) (Euler’s function) and exponent λ(n) (Carmichael’s function). The ratio φ(n)/λ(n) is always an integer, and a prime p divides this ratio precisely when the (unique) Sylow p-subgroup of U(Z/nZ) is noncyclic. Write W (n) for the number of such primes p. Banks, Luca, and Shparlinski showed that for certain constants C1, C2 > 0, C1 log logn (log log logn)2 ≤W (n) ≤ C2 log logn for all n from a sequence of asymptotic density 1. We sharpen their result by showing that W (n) has normal order log logn/ log log logn.

中文翻译：

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乘法群模 n 的非循环 Sylow 子群的数目

对于每个正整数 n，让 U(Z/nZ) 表示以 n 为模的单位群，其阶数为 φ(n)（欧拉函数），指数为 λ(n)（卡迈克尔函数）。比率 φ(n)/λ(n) 总是一个整数，当 U(Z/nZ) 的（唯一）Sylow p 子群是非环时，素数 p 精确地整除这个比率。写出 W (n) 表示这样的素数 p 的数量。Banks、Luca 和 Shparlinski 表明，对于某些常数 C1，C2 > 0，C1 log logn (log log logn)2 ≤W (n) ≤ C2 log logn 对于来自渐近密度 1 的序列的所有 n。我们锐化了他们的结果通过显示 W (n) 具有正常顺序 log logn/log log logn。