In this paper, we study properties of weak crystal operators. In particular, we show that if $$T\in {\mathcal{L}}({\mathcal{H}})$$ is a complex symmetric operator, then T is weak crystal, crystal, or crystal-like if and only if $$T^{*}$$ is weak crystal, crystal, or crystal-like, respectively. Moreover, we prove that if T is a quasiaffinity, then T is weak crystal if and only if the Aluthge transform $$\widetilde{T}$$ (or the Duggal transform $$\widetilde{T}^{D}$$ ) of T is weak crystal. Finally, we give several applications of these results.

中文翻译：

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晶体复对称算子

在本文中，我们研究了弱晶体算子的性质。特别地，我们证明如果 $$T\in {\mathcal{L}}({\mathcal{H}})$$ 是一个复对称算子，那么 T 是弱晶体、晶体或类晶体，如果和仅当 $$T^{*}$$ 分别是弱晶体、晶体或类晶体时。此外，我们证明，如果 T 是拟亲和力，则 T 是弱晶体当且仅当 Aluthge 变换 $$\widetilde{T}$$（或 Duggal 变换 $$\widetilde{T}^{D}$$ ) 的 T 是弱晶体。最后，我们给出了这些结果的几种应用。