In this paper, we aim to introduce the notion of the spectral radius of bounded linear operators acting on a complex Hilbert space $\mathcal{H}$, which are bounded with respect to the seminorm induced by a positive operator $A$ on $\mathcal{H}$. Mainly, we show that $r_A(T)\leq \omega_A(T)$ for every $A$-bounded operator $T$, where $r_A(T)$ and $\omega_A(T)$ denote respectively the $A$-spectral radius and the $A$-numerical radius of $T$. This allows to establish that $r_A(T)=\omega_A(T)=\|T\|_A$ for every $A$-normaloid operator $T$, where $\|T\|_A$ is denoted to be the $A$-operator seminorm of $T$. Moreover, some characterizations of $A$-normaloid and $A$-spectraloid operators are given.

中文翻译：

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半希尔伯特空间算符的谱半径及其应用

在本文中，我们旨在介绍作用于复数希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 的有界线性算子的谱半径的概念，这些算子相对于由 $A$ 上的正算子 $A$ 引起的半范数是有界的。 \mathcal{H}$。主要是，我们证明了 $r_A(T)\leq\omega_A(T)$ 对于每个 $A$ 有界算子 $T$，其中 $r_A(T)$ 和 $\omega_A(T)$ 分别表示 $A $-光谱半径和$A$-$T$ 的数值半径。这允许为每个 $A$-normaloid 算子 $T$ 建立 $r_A(T)=\omega_A(T)=\|T\|_A$，其中 $\|T\|_A$ 表示为$A$-$T$ 的算子半范数。此外，还给出了$A$-normaloid 和$A$-spectraloid 算子的一些特征。