The length of the shortest closed geodesic in a hyperbolic surface $X$ is called the systole of $X.$ When $X$ is an $n$-times punctured sphere $\hat{ \mathbb{C}} \setminus A$ where $A \subset \hat{\mathbb{C}}$ is a finite set of cardinality $n\ge4,$ we define a quantity $Q(A)$ in terms of cross ratios of quadruples in $A$ so that $Q(A)$ is quantitatively comparable with the systole of $X.$ We next propose a method to construct a distance function $d_X$ on a punctured sphere $X$ which is Lipschitz equivalent to the hyperbolic distance $h_X$ on $X.$ In particular, when the construction is based on a modified quasihyperbolic metric, $d_X$ is Lipschitz equivalent to $h_X$ with Lipschitz constant depending only on $Q(A).$

中文翻译：

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关于n次穿孔球体的双曲距离

双曲曲面 $X$ 中最短闭合测地线的长度称为 $X$ 的收缩。当 $X$ 是 $n$ 次穿孔球 $\hat{ \mathbb{C}} \setminus A$其中 $A \subset \hat{\mathbb{C}}$ 是一个有限的基数集 $n\ge4,$ 我们根据 $A$ 中四元组的交叉比定义一个数量 $Q(A)$，使得$Q(A)$ 在数量上与 $X 的收缩期相当。我们接下来提出了一种在穿孔球体 $X$ 上构造距离函数 $d_X$ 的方法，它是 Lipschitz 等效于 $h_X$ 上的双曲距离 $h_X$ X.$ 特别是，当构造基于修正的拟双曲度量时，$d_X$ 是 Lipschitz 等价于 $h_X$ 且 Lipschitz 常数仅取决于 $Q(A).$