In this paper, we investigate the spreading phenomena of the general nonlocal KPP equation in almost periodic media$(⁎)u_t=\underset{\mathbb{R}}{\int }u(t,x-y)d\mu (y)-u+a(x)u(1-u)t>0,x\in \mathbb{R},$ where μ is a probability measure on $\mathbb{R}$ and a is a positive almost periodic function with $\underset{x\in \mathbb{R}}{\inf }a(x)>0$.

Two constants ${\omega }^{+}$ and ${\omega }^{-}$ are called the spreading speeds of $(⁎)$ in the positive and negative directions respectively provided the following two statements hold:

(i) For any nonnegative initial function $u_0\in L^{\infty }(\mathbb{R})\cap C(\mathbb{R})$ with a compact support, $\underset{t\to +\infty }{\lim }\underset{x\ge ({\omega }^{+}+ϵ)t}{\sup }|u(t,x)|=\underset{t\to +\infty }{\lim }\underset{x\le (-{\omega }^{-}-ϵ)t}{\sup }|u(t,x)|=0,\forall ϵ>0$;

(ii) There is some $L>0$ such that for any nonnegative initial function $u_0\in L^{\infty }(\mathbb{R})\cap C(\mathbb{R})$, if $u_0(x)>0$ on an interval longer than L, then$\underset{t\to +\infty }{\lim }\underset{(-{\omega }^{-}+ϵ)t\le x\le ({\omega }^{+}-ϵ)t}{\sup }|u(t,x)-1|=0,\forall ϵ>0.$

In this paper, we show that if the heterogeneity of the media can be averaged by the diffusion, then $(⁎)$ has spreading speeds. Precisely, let $E_1$ be the support of μ, $\mathcal{E}$ be the closed additive subgroup generated by $E_1\cup \{0\}$ and $H(a,S):=\overline{\{a(\cdot +s)|s\in S\}}$, we have the following theorem:

Let ${\{{\beta }_k\}}_{k=1}^N,N\in {\mathbb{Z}}^{+}\cup \{\infty \}$ be an at most countable set of real numbers. Suppose that for any $q=(q_1,\cdots ,q_n)\in {\mathbb{Q}}^n\setminus \{\mathbf{0}\}$, $\sum _{k=1}^n{q}_k{\beta }_k\ne 0$ for any $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ and $n\le N$. Set$$\begin{gathered} A=\{r|\exists n\in {\mathbb{Z}}^{+},q=(q_1,\cdots ,q_n)\in {\mathbb{Q}}^n \\ \text{with }{q}_n\ne 0\text{ s.t.}r\sum _{k=1}^n{q}_k\frac{{\beta }_k}{2\pi }\in \mathbb{Q}\}. \end{gathered}$$

在本文中，我们研究了一般非局部KPP方程在几乎周期介质中的扩散现象$（⁎）{ü}_{Ť}=\underset{\mathbb{[R}}{\int }ü（Ť，X-ÿ）d\mu （ÿ）-ü+\mathrm{一种}（X）ü（\mathrm{1个}-ü）Ť>0，X\in \mathbb{[R}，$其中μ是对$\mathbb{[R}$并且a是一个正的几乎周期函数，具有$\underset{X\in \mathbb{[R}}{\mathrm{信息}}\mathrm{一种}（X）>0$。

两个常数 ${\omega }^{+}$ 和 ${\omega }^{-}$ 被称为传播速度 $（⁎）$ 分别在以下两个方面保持正向和负向：

（i）对于任何非负初始函数 ${ü}_0\in {\mathrm{大号}}^{\infty }（\mathbb{[R}）\cap C（\mathbb{[R}）$ 在紧凑的支撑下， $\underset{Ť\to +\infty }{\mathrm{林}}\underset{X\ge （{\omega }^{+}+ϵ）Ť}{\mathrm{SUP}}|ü（Ť，X）|=\underset{Ť\to +\infty }{\mathrm{林}}\underset{X\le （-{\omega }^{-}-ϵ）Ť}{\mathrm{SUP}}|ü（Ť，X）|=0，\forall ϵ>0$;

（ii）有一些 $\mathrm{大号}>0$ 这样对于任何非负初始函数 ${ü}_0\in {\mathrm{大号}}^{\infty }（\mathbb{[R}）\cap C（\mathbb{[R}）$如果 ${ü}_0（X）>0$间隔大于L，则$\underset{Ť\to +\infty }{\mathrm{林}}\underset{（-{\omega }^{-}+ϵ）Ť\le X\le （{\omega }^{+}-ϵ）Ť}{\mathrm{SUP}}|ü（Ť，X）-\mathrm{1个}|=0，\forall ϵ>0。$

在本文中，我们表明，如果可以通过扩散将介质的异质性平均化，则 $（⁎）$传播速度快。准确地，让${Ë}_{\mathrm{1个}}$是μ的支持，$\mathcal{Ë}$ 是由生成的封闭加法子组 ${Ë}_{\mathrm{1个}}\cup \{0\}$ 和 $H（\mathrm{一种}，\mathrm{小号}）：=\stackrel{〜}{\{\mathrm{一种}（\cdot +s）|s\in \mathrm{小号}\}}$，我们有以下定理：

让 ${\{{\beta }_{ķ}\}}_{ķ=\mathrm{1个}}^{ñ}，ñ\in {\mathbb{ž}}^{+}\cup \{\infty \}$是最多可数的实数集。假设对于任何$q=（q_{\mathrm{1个}}，\cdots ，q_{ñ}）\in {\mathbb{问}}^{ñ}\setminus \{\mathbf{0}\}$， $\sum _{ķ=\mathrm{1个}}^{ñ}{q}_{ķ}{\beta }_{ķ}\ne 0$ 对于任何 $ñ\in {\mathbb{ž}}^{+}$ 和 $ñ\le ñ$。组$$\begin{gathered} \mathrm{一种}=\{\mathrm{[R}|\exists ñ\in {\mathbb{ž}}^{+}，q=（q_{\mathrm{1个}}，\cdots ，q_{ñ}）\in {\mathbb{问}}^{ñ} \\ \text{与 }{q}_{ñ}\ne 0\text{ ST}\mathrm{[R}\sum _{ķ=\mathrm{1个}}^{ñ}{q}_{ķ}\frac{{\beta }_{ķ}}{2\pi }\in \mathbb{问}\}。 \end{gathered}$$