Large scale systems of algebraic equations are frequently solved by iterative solution methods, such as the conjugate gradient method for symmetric or a generalized conjugate gradient or generalized minimum residual method for nonsymmetric linear systems. In practice, to get an acceptable elapsed computing time when solving large scale problems, one shall use parallel computer platforms. However, such methods involve orthogonalization of search vectors which requires computation of many inner products and, hence, needs global communication of data, which will be costly in computer times. In this paper, we propose various inner product free methods, such as the Chebyshev acceleration method. We study the solution of linear systems arising from optimal control problems for PDEs, such as the edge element discretization of the time-periodic eddy current optimal control problem. Following a discretize-then-optimize scheme, the resulting linear system is of a three-by-three block matrix form. Various solution methods based on an approximate Schur complement and inner product free iterative solution methods for this linear system are analyzed and compared with an earlier used method for two-by-two block matrices with square blocks. The convergence properties and implementation details of the proposed methods are analyzed to show their effectiveness and practicality. Both serial and parallel numerical experiments are presented to further investigate the performance of the proposed methods compared with some other existing methods.

大型代数方程组通常通过迭代求解方法求解，例如对称或共轭梯度的共轭梯度法或非对称线性系统的广义最小残差法。在实践中，为了在解决大规模问题时获得可接受的经过时间，应使用并行计算机平台。但是，这样的方法涉及搜索向量的正交化，这需要计算许多内积，因此需要全局的数据通信，这在计算机时间上将是昂贵的。在本文中，我们提出了各种无内积的方法，例如Chebyshev加速方法。我们研究了由PDE的最优控制问题引起的线性系统的解，例如边缘元素离散化的时间周期涡流最优控制问题。按照离散化然后优化方案，得到的线性系统为三乘三块矩阵形式。分析了基于近似Schur补码的各种求解方法和该线性系统的无内积迭代求解方法，并将其与较早使用的具有正方形块的2×2块矩阵的方法进行了比较。分析了所提方法的收敛性和实现细节，以证明其有效性和实用性。提出了串行和并行数值实验，以进一步研究与其他现有方法相比，所提出方法的性能。所得的线性系统为三乘三的块矩阵形式。分析了基于近似Schur补码的各种求解方法和该线性系统的无内积迭代求解方法，并将其与较早使用的具有正方形块的2×2块矩阵的方法进行了比较。分析了所提方法的收敛性和实现细节，以证明其有效性和实用性。提出了串行和并行数值实验，以进一步研究与其他现有方法相比，所提出方法的性能。所得的线性系统为三乘三的块矩阵形式。分析了基于近似Schur补码的各种求解方法和该线性系统的无内积迭代求解方法，并将其与较早使用的具有正方形块的2×2块矩阵的方法进行了比较。分析了所提方法的收敛性和实现细节，以证明其有效性和实用性。提出了串行和并行数值实验，以进一步研究与其他现有方法相比，所提出方法的性能。分析了基于近似Schur补码的各种求解方法和该线性系统的无内积迭代求解方法，并将其与较早使用的具有正方形块的2×2块矩阵的方法进行了比较。分析了所提方法的收敛性和实现细节，以证明其有效性和实用性。提出了串行和并行数值实验，以进一步研究与其他现有方法相比，所提出方法的性能。分析了基于近似Schur补码的各种求解方法和该线性系统的无内积迭代求解方法，并将其与较早使用的具有正方形块的2×2块矩阵的方法进行了比较。分析了所提方法的收敛性和实现细节，以证明其有效性和实用性。提出了串行和并行数值实验，以进一步研究与其他现有方法相比，所提出方法的性能。