We give a Pfaffian formula to compute the partition function of the Ising model on any graph $G$ embedded in a closed, possibly non-orientable surface. This formula, which is suitable for computational purposes, is based on the relation between the Ising model on $G$ and the dimer model on its terminal graph $G^T$. By combining the ideas of Loebl-Masbaum \cite{Loeb11}, Tesler \cite{Tes2000}, Cimasoni \cite{Cim09, Cim10} and Chelkak-Cimasoni-Kassel \cite{Chel15}, we give an elementary proof for the formula.

中文翻译：

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曲面图的 Ising 配分函数的 Pfaffian 公式

我们给出了一个 Pfaffian 公式来计算 Ising 模型在嵌入一个封闭的、可能不可定向的表面的任何图 $G$ 上的配分函数。该公式适用于计算目的，基于 $G$ 上的 Ising 模型与其终端图 $G^T$ 上的二聚体模型之间的关系。通过结合 Loebl-Masbaum \cite{Loeb11}, Tesler \cite{Tes2000}, Cimasoni \cite{Cim09, Cim10} 和 Chelkak-Cimasoni-Kassel \cite{Chel15} 的思想，我们给出了公式的基本证明。