Complex-valued functions defined on a finite interval $[a,b]$ generalizing power functions of the type $(x-x_0)^n$ for $n\geq 0$ are studied. These functions called $\Phi$-generalized powers, $\Phi$ being a given nonzero complex-valued function on the interval, were considered to contruct a general solution representation of the Sturm-Liouville equation in terms of the spectral parameter \cite{kravchenko2008, kravporter2010}. The $\Phi$-generalized powers can be considered as a natural basis functions for the one-dimensional supersymmetric quantum mechanics systems taking $\Phi=\psi_0^2$, where the function $\psi_0(x)$ is the ground state wave function of one of the supersymmetric scalar Hamiltonians. Several properties are obtained such as $\Phi$-symmetric conjugate and antisymmetry of the $\Phi$-generalized powers, a supersymmetric binomial identity for these functions, a supersymmetric Pythagorean elliptic (hyperbolic) identity involving four $\Phi$-trigonometric ($\Phi$-hyperbolic) functions as well as a supersymmetric Taylor series expressed in terms of the $\Phi$-derivatives. We show that the first $n$ $\Phi$-generalized powers are a fundamental set of solutions associated with a nonconstant coefficients homogeneous linear ordinary differential equations of order $n+1$. Finally, we present a general solution representation of the stationary Schr\"odinger equation in terms of geometric series where the Volterra compositions of the first type is considered.

中文翻译：

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超对称广义幂函数

研究了在有限区间 $[a,b]$ 上定义的复值函数，用于对 $n\geq 0$ 泛化类型为 $(x-x_0)^n$ 的幂函数。这些称为 $\Phi$-广义幂的函数，$\Phi$ 是区间上给定的非零复值函数，被认为是根据谱参数 \cite{ 构造 Sturm-Liouville 方程的一般解表示kravchenko2008, kravporter2010}。$\Phi$-广义幂可以被认为是一维超对称量子力学系统的自然基函数，取$\Phi=\psi_0^2$，其中函数$\psi_0(x)$是基态超对称标量哈密顿量之一的波函数。获得了几个性质，例如 $\Phi$-广义幂的 $\Phi$-对称共轭和反对称性，这些函数的超对称二项式恒等式，涉及四个 $\Phi$-三角（$\Phi$-双曲）函数的超对称勾股椭圆（双曲）恒等式以及用 $\Phi$- 表示的超对称泰勒级数衍生品。我们表明，第一个 $n$$\Phi$-广义幂是一组基本的解，与阶 $n+1$ 的非常数系数齐次线性常微分方程相关。最后，我们根据几何级数给出了平稳 Schr\"odinger 方程的一般解表示，其中考虑了第一类的 Volterra 组合。一个超对称勾股椭圆（双曲）恒等式，涉及四个 $\Phi$-三角（$\Phi$-双曲）函数以及用 $\Phi$-导数表示的超对称泰勒级数。我们表明，第一个 $n$$\Phi$-广义幂是一组基本的解，与阶 $n+1$ 的非常数系数齐次线性常微分方程相关。最后，我们根据几何级数给出了平稳 Schr\"odinger 方程的一般解表示，其中考虑了第一类的 Volterra 组合。一个超对称勾股椭圆（双曲）恒等式，涉及四个 $\Phi$-三角（$\Phi$-双曲）函数以及用 $\Phi$-导数表示的超对称泰勒级数。我们表明，第一个 $n$$\Phi$-广义幂是一组基本的解，与阶 $n+1$ 的非常数系数齐次线性常微分方程相关。最后，我们根据几何级数给出了平稳 Schr\"odinger 方程的一般解表示，其中考虑了第一类的 Volterra 组合。