A well ordering < of a topological space X is "left-separating" if $\{x'\in X: x'< x\}$ is closed in X for any x in X. A space is "left-separated" if it has a left-separating well-ordering. The left-separating type, $ord_l(X)$, of a left-separated space X is the minimum of the order types of the left-separating well orderings of X. We prove that (1) if ${\kappa}$ is a regular cardinal, then for each ordinal ${\alpha}<{\kappa}^+$ there is a $T_2$ space $X$ with $ord_l(X)={\kappa}\cdot {\alpha}$; (2) if ${\kappa}={\lambda}^+$ and $cf({\lambda})={\lambda}>{\omega}$, then for each ordinal ${\alpha}<{\kappa}^+$ there is a 0-dimensional space $X$ with $ord_l( X)={\kappa}\cdot {\alpha}$; (3) if ${\kappa}=2^{\omega}$ or ${\kappa}=\beth_{{\beta}+1}$, where $cf({\beta})={\omega}$, then for each ordinal ${\alpha}<{\kappa}^+$ there is a locally compact, locally countable, 0-dimensional space $X$ with $ord_l( X)={\kappa}\cdot {\alpha}$. The union of two left-separated spaces is not necessarily left-separated. We show, however, that if X is a countably tight space, $X=Y\cup Z, ord_l(Y)$, $ord_l(Z)<\omega_1 \cdot \omega$, then $X$ is also left-separated and $ord_l(X)\le ord_l(Y)+ord_l(Z)$. We prove that it is consistent that there is a first countable, 0-dimensional space X, which is not left-separated, but there is a c.c.c poset Q such that in the generic extension $V^Q$ we have $ord_l(X)=\omega_1 \cdot \omega$. However, if $X$ is a topological space and $Q$ is a c.c.c poset such that in in the generic extension $V^Q$ we have $ord_l(X)<\omega_1 \cdot \omega$ then X is left-separated even in $V$.

中文翻译：

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左分隔订单类型

如果 $\{x'\in X: x'< x\}$ 在 X 中对 X 中的任何 x 封闭，则拓扑空间 X 的井序 < 是“左分隔”的。空间是“左分隔”的如果它有一个左分隔的良序。左分隔空间 X 的左分隔类型 $ord_l(X)$ 是 X 的左分隔井排序的最小排序类型。 我们证明 (1) 如果 ${\kappa}$是常规基数，那么对于每个序数 ${\alpha}<{\kappa}^+$ 有一个 $T_2$ 空间 $X$ 与 $ord_l(X)={\kappa}\cdot {\alpha}$ ; (2) 若${\kappa}={\lambda}^+$且$cf({\lambda})={\lambda}>{\omega}$，则对于每个序数${\alpha}<{\ kappa}^+$ 存在一个 0 维空间 $X$，其中 $ord_l( X)={\kappa}\cdot {\alpha}$; (3) 若 ${\kappa}=2^{\omega}$ 或 ${\kappa}=\beth_{{\beta}+1}$，其中 $cf({\beta})={\omega} $，然后对于每个序数 ${\alpha}< {\kappa}^+$ 存在一个局部紧致、局部可数的 0 维空间 $X$，其中 $ord_l( X)={\kappa}\cdot {\alpha}$。两个左分隔的空间的并集不一定是左分隔的。然而，我们证明，如果 X 是一个可数紧空间，$X=Y\cup Z, ord_l(Y)$, $ord_l(Z)<\omega_1 \cdot \omega$，那么 $X$ 也是左-分开和 $ord_l(X)\le ord_l(Y)+ord_l(Z)$。我们证明存在第一个可数的 0 维空间 X 是一致的，它不是左分隔的，但是有一个 ccc 偏序 Q 使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X )=\omega_1 \cdot \omega$。然而，如果 $X$ 是一个拓扑空间并且 $Q$ 是一个 ccc 偏序集，使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X)<\omega_1 \cdot \omega$ 那么 X 是左的 -甚至在 $V$ 中分开。0 维空间 $X$，$ord_l( X)={\kappa}\cdot {\alpha}$。两个左分隔的空间的并集不一定是左分隔的。然而，我们证明，如果 X 是一个可数紧空间，$X=Y\cup Z, ord_l(Y)$, $ord_l(Z)<\omega_1 \cdot \omega$，那么 $X$ 也是左-分开和 $ord_l(X)\le ord_l(Y)+ord_l(Z)$。我们证明存在第一个可数的 0 维空间 X 是一致的，它不是左分隔的，但是有一个 ccc 偏序 Q 使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X )=\omega_1 \cdot \omega$。然而，如果 $X$ 是一个拓扑空间并且 $Q$ 是一个 ccc 偏序集，使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X)<\omega_1 \cdot \omega$ 那么 X 是左的 -即使在 $V$ 中也分开。0维空间$X$，$ord_l( X)={\kappa}\cdot {\alpha}$。两个左分隔的空间的并集不一定是左分隔的。然而，我们证明，如果 X 是一个可数紧空间，$X=Y\cup Z, ord_l(Y)$, $ord_l(Z)<\omega_1 \cdot \omega$，那么 $X$ 也是左-分开和 $ord_l(X)\le ord_l(Y)+ord_l(Z)$。我们证明存在第一个可数的 0 维空间 X 是一致的，它不是左分隔的，但是有一个 ccc 偏序 Q 使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X )=\omega_1 \cdot \omega$。然而，如果 $X$ 是一个拓扑空间并且 $Q$ 是一个 ccc 偏序集，使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X)<\omega_1 \cdot \omega$ 那么 X 是左的 -甚至在 $V$ 中分开。两个左分隔的空间的并集不一定是左分隔的。然而，我们证明，如果 X 是一个可数紧空间，$X=Y\cup Z, ord_l(Y)$, $ord_l(Z)<\omega_1 \cdot \omega$，那么 $X$ 也是左-分开和 $ord_l(X)\le ord_l(Y)+ord_l(Z)$。我们证明存在第一个可数的 0 维空间 X 是一致的，它不是左分隔的，但是有一个 ccc 偏序 Q 使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X )=\omega_1 \cdot \omega$。然而，如果 $X$ 是一个拓扑空间并且 $Q$ 是一个 ccc 偏序集，使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X)<\omega_1 \cdot \omega$ 那么 X 是左边的 -甚至在 $V$ 中分开。两个左分隔的空间的并集不一定是左分隔的。然而，我们证明，如果 X 是一个可数紧空间，$X=Y\cup Z, ord_l(Y)$, $ord_l(Z)<\omega_1 \cdot \omega$，那么 $X$ 也是左-分开和 $ord_l(X)\le ord_l(Y)+ord_l(Z)$。我们证明存在第一个可数的 0 维空间 X 是一致的，它不是左分隔的，但是有一个 ccc 偏序 Q 使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X )=\omega_1 \cdot \omega$。然而，如果 $X$ 是一个拓扑空间并且 $Q$ 是一个 ccc 偏序集，使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X)<\omega_1 \cdot \omega$ 那么 X 是左的 -甚至在 $V$ 中分开。那么 $X$ 也是左分隔和 $ord_l(X)\le ord_l(Y)+ord_l(Z)$。我们证明存在第一个可数的 0 维空间 X 是一致的，它不是左分隔的，但是有一个 ccc 偏序 Q 使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X )=\omega_1 \cdot \omega$。然而，如果 $X$ 是一个拓扑空间并且 $Q$ 是一个 ccc 偏序集，使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X)<\omega_1 \cdot \omega$ 那么 X 是左的 -即使在 $V$ 中也分开。那么 $X$ 也是左分隔和 $ord_l(X)\le ord_l(Y)+ord_l(Z)$。我们证明存在第一个可数的 0 维空间 X 是一致的，它不是左分隔的，但是有一个 ccc 偏序 Q 使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X )=\omega_1 \cdot \omega$。然而，如果 $X$ 是一个拓扑空间并且 $Q$ 是一个 ccc 偏序集，使得在泛型扩展 $V^Q$ 中我们有 $ord_l(X)<\omega_1 \cdot \omega$ 那么 X 是左的 -甚至在 $V$ 中分开。