We consider the cyclotomic identity testing problem: given a polynomial $f(x_1,\ldots,x_k)$, decide whether $f(\zeta_n^{e_1},\ldots,\zeta_n^{e_k})$ is zero, for $\zeta_n = e^{2\pi i/n}$ a primitive complex $n$-th root of unity and integers $e_1,\ldots,e_k$. We assume that $n$ and $e_1,\ldots,e_k$ are represented in binary and consider several versions of the problem, according to the representation of $f$. For the case that $f$ is given by an algebraic circuit we give a randomized polynomial-time algorithm with two-sided errors, showing that the problem lies in BPP. In case $f$ is given by a circuit of polynomially bounded syntactic degree, we give a randomized algorithm with two-sided errors that runs in poly-logarithmic parallel time, showing that the problem lies in BPNC. In case $f$ is given by a depth-2 $\Sigma\Pi$ circuit (or, equivalently, as a list of monomials), we show that the cyclotomic identity testing problem lies in NC. Under the generalised Riemann hypothesis, we are able to extend this approach to obtain a polynomial-time algorithm also for a very simple subclass of depth-3 $\Sigma\Pi\Sigma$ circuits. We complement this last result by showing that for a more general class of depth-3 $\Sigma\Pi\Sigma$ circuits, a polynomial-time algorithm for the cyclotomic identity testing problem would yield a sub-exponential-time algorithm for polynomial identity testing. Finally, we use cyclotomic identity testing to give a new proof that equality of compressed strings, i.e., strings presented using context-free grammars, can be decided in coRNC: randomized NC with one-sided errors.

中文翻译：

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Cyclotomic 身份测试和应用

我们考虑分圆恒等式检验问题：给定多项式 $f(x_1,\ldots,x_k)$，判断 $f(\zeta_n^{e_1},\ldots,\zeta_n^{e_k})$ 是否为零，对于$\zeta_n = e^{2\pi i/n}$ 一个原始复数 $n$-th 个单位根和整数 $e_1,\ldots,e_k$。我们假设 $n$ 和 $e_1,\ldots,e_k$ 以二进制表示，并根据 $f$ 的表示考虑问题的多个版本。对于 $f$ 由代数电路给出的情况，我们给出了一个带有两侧误差的随机多项式时间算法，表明问题在于 BPP。如果 $f$ 是由多项式有界句法次数的电路给出的，我们给出了一个在多对数并行时间内运行的带有两侧误差的随机算法，表明问题出在 BPNC 上。如果 $f$ 由深度 2 $\Sigma\Pi$ 电路给出（或者，等效地，作为单项式列表），我们表明分圆恒等式检验问题在于 NC。在广义黎曼假设下，我们能够扩展这种方法以获得多项式时间算法，也适用于深度 3 $\Sigma\Pi\Sigma$ 电路的一个非常简单的子类。我们通过展示更一般的深度 3 $\Sigma\Pi\Sigma$ 电路来补充最后一个结果，用于分圆恒等式测试问题的多项式时间算法将产生用于多项式恒等式的次指数时间算法测试。最后，我们使用分圆身份测试来给出一个新的证明，即压缩字符串的相等性，即使用上下文无关语法呈现的字符串，可以在 coRNC 中决定：带有单边错误的随机 NC。在广义黎曼假设下，我们能够扩展这种方法以获得多项式时间算法，也适用于深度 3 $\Sigma\Pi\Sigma$ 电路的一个非常简单的子类。我们通过展示更一般的深度 3 $\Sigma\Pi\Sigma$ 电路来补充最后一个结果，用于分圆恒等式测试问题的多项式时间算法将产生用于多项式恒等式的次指数时间算法测试。最后，我们使用分圆身份测试来给出一个新的证明，即压缩字符串的相等性，即使用上下文无关语法呈现的字符串，可以在 coRNC 中决定：带有单边错误的随机 NC。在广义黎曼假设下，我们能够扩展这种方法以获得多项式时间算法，也适用于深度 3 $\Sigma\Pi\Sigma$ 电路的一个非常简单的子类。我们通过展示更一般的深度 3 $\Sigma\Pi\Sigma$ 电路来补充最后一个结果，用于分圆恒等式测试问题的多项式时间算法将产生用于多项式恒等式的次指数时间算法测试。最后，我们使用分圆身份测试来给出一个新的证明，即压缩字符串的相等性，即使用上下文无关语法呈现的字符串，可以在 coRNC 中决定：带有单边错误的随机 NC。我们通过展示更一般的深度 3 $\Sigma\Pi\Sigma$ 电路来补充最后一个结果，用于分圆恒等式测试问题的多项式时间算法将产生用于多项式恒等式的次指数时间算法测试。最后，我们使用分圆身份测试来给出一个新的证明，即压缩字符串的相等性，即使用上下文无关语法呈现的字符串，可以在 coRNC 中决定：带有单边错误的随机 NC。我们通过展示更一般的深度 3 $\Sigma\Pi\Sigma$ 电路来补充最后一个结果，用于分圆恒等式测试问题的多项式时间算法将产生用于多项式恒等式的次指数时间算法测试。最后，我们使用分圆身份测试来给出一个新的证明，即压缩字符串的相等性，即使用上下文无关语法呈现的字符串，可以在 coRNC 中决定：带有单边错误的随机 NC。