We consider the empirical eigenvalue distribution of an [Formula: see text] principal submatrix of an [Formula: see text] random unitary matrix distributed according to Haar measure. For [Formula: see text] and [Formula: see text] large with [Formula: see text], the empirical spectral measure is well approximated by a deterministic measure [Formula: see text] supported on the unit disc. In earlier work, we showed that for fixed [Formula: see text] and [Formula: see text], the bounded-Lipschitz distance [Formula: see text] between the empirical spectral measure and the corresponding [Formula: see text] is typically of order [Formula: see text] or smaller. In this paper, we consider eigenvalues on a microscopic scale, proving concentration inequalities for the eigenvalue counting function and for individual bulk eigenvalues.

中文翻译：

---

随机酉矩阵截断的特征值刚性

我们考虑根据 Haar 测度分布的 [公式：参见文本] 随机酉矩阵的 [公式：参见文本] 主子矩阵的经验特征值分布。对于 [公式：见文本] 和 [公式：见文本] 大的 [公式：见文本]，经验光谱测量很好地近似于单位圆盘上支持的确定性测量 [公式：见文本]。在早期的工作中，我们展示了对于固定的 [公式：见文本] 和 [公式：见文本]，经验光谱测量与相应的 [公式：见文本] 之间的有界-Lipschitz 距离 [公式：见文本] 通常为顺序 [公式：见正文] 或更小。在本文中，我们考虑微观尺度的特征值，证明特征值计数函数和单个体积特征值的浓度不等式。