Roy’s largest root is a common test statistic in multivariate analysis, statistical signal processing and related fields. According to Anderson [An Introduction to Multivariate Statistical Analysis, 3rd edn. (Wiley, New York, 2003)], it is numerically known that compared with the other three tests of linear hypotheses, Roy’s largest root test has the highest power under rank-one alternatives. Therefore, it is important to study the asymptotic distribution of the largest root under rank-one alternatives to obtain an estimation of the power. To the best of our knowledge, no one had solved the problem until Johnstone and Nadler [Roy’s largest root test under rank-one alternatives, Biometrika 104(1) (2017) 181–193] presented a tractable approximation of the distribution of Roy’s largest root test where the alternative is of rank one and the variance of the noise tends to zero. It is natural to ask how Roy’s largest root test performs under other alternatives, for example, rank-finite alternatives. Therefore, we are more interested in the power estimates of Roy’s largest root test under wider alternatives, namely, whether its power is still higher than that of the other three tests of linear hypotheses. In fact, the distribution of the largest root under rank-finite alternatives can be characterized as the distribution of the largest sample eigenvalue among several spiked models. In this paper, we employ the asymptotic results of the spiked eigenvalues derived by Bai and Yao [Central limit theorems for eigenvalues in a spiked population model, Ann. Inst. Henri. Poincarè Probab. Statist. 44(3) (2008) 447–474; On sample eigenvalues in a generalized spiked population model, J. Multivar. Anal. 106 (2012) 167–177] and Wang and Yao [Extreme eigenvalues of large-dimensional spiked Fisher matrices with application, Ann. Statist. 45 (2017) 415–460] to obtain the approximate power of Roy’s largest root test under a high-dimensional setting; more importantly, our results are distribution-free and applicable to cases involving rank-finite alternatives.

中文翻译：

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在一般尖刺替代方案下 Roy 最大根检验的幂函数的逼近

Roy 最大根是多元分析、统计信号处理及相关领域中常见的检验统计量。根据 Anderson [多元统计分析简介，第 3 版。(Wiley, New York, 2003)]，从数值上可知，与线性假设的其他三个检验相比，Roy 的最大根检验在一级备选方案下具有最高的功效。因此，研究一级备选方案下最大根的渐近分布以获得功率估计非常重要。据我们所知，直到 Johnstone 和 Nadler [Roy 在一级替代方案下最大的根检验，没有人解决了这个问题，Biometrika 104(1) (2017) 181–193] 提出了 Roy 最大根检验分布的易处理近似值，其中备选方案为 1 级且噪声方差趋于零。很自然地要问 Roy 的最大根检验在其他备选方案（例如秩有限备选方案）下的表现如何。因此，我们更感兴趣的是 Roy 最大根检验在更广泛的备选方案下的功效估计，即它的功效是否仍然高于其他三个线性假设检验的功效。事实上，秩有限备选方案下最大根的分布可以表征为几个尖峰模型中最大样本特征值的分布。在本文中，我们采用了由 Bai 和 Yao 得出的尖峰特征值的渐近结果 [尖峰总体模型中的特征值的中心极限定理，Ann。研究所。亨利。庞加莱普罗巴布。统计学家。44（3）（2008）447–474；关于广义尖峰总体模型中的样本特征值，J. Multivar。肛门。106 (2012) 167–177] 和 Wang 和 Yao [大维尖峰 Fisher 矩阵的极值特征值及其应用，Ann。统计学家。45（2017）415-460]以获得高维设置下Roy最大根检验的近似功率；更重要的是，我们的结果是无分布的，适用于涉及秩有限选择的情况。106 (2012) 167–177] 和 Wang 和 Yao [大维尖峰 Fisher 矩阵的极值特征值及其应用，Ann。统计学家。45（2017）415-460]以获得高维设置下Roy最大根检验的近似功率；更重要的是，我们的结果是无分布的，适用于涉及秩有限选择的情况。106 (2012) 167–177] 和 Wang 和 Yao [大维尖峰 Fisher 矩阵的极值特征值及其应用，Ann。统计学家。45（2017）415-460]以获得高维设置下Roy最大根检验的近似功率；更重要的是，我们的结果是无分布的，适用于涉及秩有限选择的情况。