Paschke’s version of Stinespring’s theorem associates a Hilbert [Formula: see text]-module along with a generating vector to every completely positive map. Building on this, to every quantum dynamical semigroup (QDS) on a [Formula: see text]-algebra [Formula: see text] one may associate an inclusion system [Formula: see text] of Hilbert [Formula: see text]-[Formula: see text]-modules with a generating unit [Formula: see text]. Suppose [Formula: see text] is a von Neumann algebra, consider [Formula: see text], the von Neumann algebra of [Formula: see text] matrices with entries from [Formula: see text]. Suppose [Formula: see text] with [Formula: see text] is a QDS on [Formula: see text] which acts block-wise and let [Formula: see text] be the inclusion system associated to the diagonal QDS [Formula: see text] with the generating unit [Formula: see text] It is shown that there is a contractive (bilinear) morphism [Formula: see text] from [Formula: see text] to [Formula: see text] such that [Formula: see text] for all [Formula: see text] We also prove that any contractive morphism between inclusion systems of von Neumann [Formula: see text]-[Formula: see text]-modules can be lifted as a morphism between the product systems generated by them. We observe that the [Formula: see text]-dilation of a block quantum Markov semigroup (QMS) on a unital [Formula: see text]-algebra is again a semigroup of block maps.

中文翻译：

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块状量子动力学半群的结构及其乘积系统

Paschke 版本的 Stinespring 定理将 Hilbert [公式：见正文]-模块与生成向量关联到每个完全正映射。在此基础上，对于 [公式：见文本]-代数 [公式：见文本] 上的每个量子动力学半群 (QDS)，可以将希尔伯特 [公式：见文本]-[ 的包含系统 [公式：见文本] 联系起来。公式：见正文]-带生成单元的模块[公式：见正文]。假设 [Formula: see text] 是一个 von Neumann 代数，考虑 [Formula: see text]，[Formula: see text] 矩阵的 von Neumann 代数与来自 [Formula: see text] 的条目。假设 [Formula: see text] 和 [Formula: see text] 是 [Formula: see text] 上的 QDS，它以块方式起作用，让 [Formula: see text] 是与对角线 QDS [Formula: see text] 关联的包含系统text]与生成单元[公式：见正文] 表明存在从 [公式：见正文] 到 [公式：见正文] 的收缩（双线性）态射 [公式：见正文]，使得 [公式：见正文] 对于所有 [公式：见正文] ] 我们还证明了 von Neumann [公式：见文本]-[公式：见文本]-模块的包含系统之间的任何收缩态射都可以被提升为它们生成的乘积系统之间的态射。我们观察到单位[公式：见文本]-代数上的块量子马尔可夫半群（QMS）的[公式：见文本]-膨胀再次是块映射的半群。见文本]-[公式：见文本]-模块可以被提升为它们生成的产品系统之间的态射。我们观察到单位[公式：见文本]-代数上的块量子马尔可夫半群（QMS）的[公式：见文本]-膨胀再次是块映射的半群。见文本]-[公式：见文本]-模块可以被提升为它们生成的产品系统之间的态射。我们观察到单位[公式：见文本]-代数上的块量子马尔可夫半群（QMS）的[公式：见文本]-膨胀再次是块映射的半群。