We investigate the generation and propagation of solitary waves in the context of the Hertz chain and Toda lattice, with the aim to highlight the similarities, as well as differences between these systems. We begin by discussing the kinetic and potential energy of a solitary wave in these systems and show that under certain circumstances the kinetic and potential energy profiles in these systems (i.e., their spatial distribution) look reasonably close to each other. While this and other features, such as the connection between the amplitude and the total energy of the wave, bear similarities between the two models, there are also notable differences, such as the width of the wave. We then study the dynamical behavior of these systems in response to an initial velocity impulse. For the Toda lattice, we do so by employing the inverse scattering transform, and we obtain analytically the ratio between the energy of the resulting solitary wave and the energy of the impulse, as a function of the impulse velocity; we then compare the dynamics of the Toda system to that of the Hertz system, for which the corresponding quantities are obtained through numerical simulations. In the latter system, we obtain a universality in the fraction of the energy stored in the resulting solitary traveling wave irrespectively of the size of the impulse. This fraction turns out to only depend on the nonlinear exponent. Finally, we investigate the relation between the velocity of the resulting solitary wave and the velocity of the impulse. In particular, we provide an alternative proof for the numerical scaling rule of Hertz-type systems.

中文翻译：

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关于可积分和不可积分非线性格中孤波的产生和传播

我们在赫兹链和Toda晶格的背景下研究孤立波的产生和传播，以突出这些系统之间的相似性和差异。我们首先讨论这些系统中孤立波的动能和势能，并表明在某些情况下，这些系统中的动能和势能曲线（即它们的空间分布）看起来相当接近。尽管此特征和其他特征（例如，振幅和总能量之间的联系）在两个模型之间具有相似性，但也存在显着差异，例如，波浪的宽度。然后，我们研究这些系统响应初始速度脉冲的动力学行为。对于户田格 我们通过使用逆散射变换来做到这一点，并且我们得到了孤立孤子的能量与脉冲能量之间的比率，作为脉冲速度的函数。然后，我们将Toda系统的动力学与Hertz系统的动力学进行比较，并通过数值模拟获得相应的数量。在后一种系统中，无论脉冲大小如何，我们都能获得存储在所产生的孤立行波中的能量分数的通用性。事实证明，该分数仅取决于非线性指数。最后，我们研究了产生的孤立波的速度与脉冲速度之间的关系。特别是，我们为Hertz型系统的数值缩放规则提供了另一种证明。通过解析得到作为脉冲速度的函数的所得孤立波的能量与脉冲的能量之比；然后，我们将Toda系统的动力学与Hertz系统的动力学进行比较，并通过数值模拟获得相应的数量。在后一种系统中，无论脉冲大小如何，我们都能获得存储在所产生的孤立行波中的能量分数的通用性。事实证明，该分数仅取决于非线性指数。最后，我们研究了产生的孤立波的速度与脉冲速度之间的关系。特别是，我们为Hertz型系统的数值缩放规则提供了另一种证明。通过解析得到作为脉冲速度的函数的所得孤立波的能量与脉冲的能量之比；然后，我们将Toda系统的动力学与Hertz系统的动力学进行比较，并通过数值模拟获得相应的数量。在后一种系统中，无论脉冲大小如何，我们都能获得存储在所产生的孤立行波中的能量分数的通用性。事实证明，该分数仅取决于非线性指数。最后，我们研究了产生的孤立波的速度与脉冲速度之间的关系。特别是，我们为Hertz型系统的数值缩放规则提供了另一种证明。