We prove that the inequality $$\begin{aligned} \Gamma (x+1)\le \frac{x^2+\beta }{x+\beta } \end{aligned}$$ holds for all $$x\in [0,1]$$ , $$\beta \ge {\beta ^{*}}$$ , with the best possible constant $$\begin{aligned} \beta ^*=\max _{0.1\le x\le 0.3} f(x)=1.75527\ldots , \end{aligned}$$ where f is given by $$\begin{aligned} f(x)=\frac{x\Gamma (x+1)-x^2}{1-\Gamma (x+1)}. \end{aligned}$$ This refines bounds given by Ivady (J Math Inequal 3:227–236, 2009) and Yang et al. (J Inequal Appl 2017(1):210, 2017). Moreover, we show that f is strictly concave on [0, 1] and we apply this result to obtain some functional inequalities for the gamma function.

中文翻译：

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关于伽马函数的 Ivády 界限和相关结果

我们证明不等式 $$\begin{aligned} \Gamma (x+1)\le \frac{x^2+\beta }{x+\beta } \end{aligned}$$ 对所有 $$x\ 成立在 [0,1]$$ ， $$\beta \ge {\beta ^{*}}$$ ，最好的常数 $$\begin{aligned} \beta ^*=\max _{0.1\le x\le 0.3} f(x)=1.75527\ldots , \end{aligned}$$ 其中 f 由 $$\begin{aligned} f(x)=\frac{x\Gamma (x+1)- x^2}{1-\Gamma (x+1)}。\end{aligned}$$ 这改进了 Ivady (J Math Inequal 3:227–236, 2009) 和 Yang 等人给出的边界。（J Inequal Appl 2017(1):210, 2017）。此外，我们证明 f 在 [0, 1] 上是严格凹的，我们应用这个结果来获得伽马函数的一些函数不等式。