The $2 q$-th pseudomoment $\Psi_{2q,\alpha}(x)$ of the $\alpha$-th power of the Riemann zeta function is defined to be the $2 q$-th moment of the partial sum up to $x$ of $\zeta^\alpha$ on the critical line. Using probabilistic methods of Harper, we prove upper and lower bounds for these pseudomoments when $q \le \frac{1}{2}$ and $\alpha \ge 1$. Combined with results of Bondarenko, Heap and Seip, these bounds determine the size of all pseudomoments with $q > 0$ and $\alpha \ge 1$ up to powers of $\log \log x$, where $x$ is the length of the partial sum, and it turns out that there are three different ranges with different growth behaviours. In particular, the results give the order of magnitude of $\Psi_{2 q, 1}(x)$ for all $q > 0$.

中文翻译：

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黎曼 Zeta 函数的低伪矩及其幂

黎曼 zeta 函数的 $\alpha$-th 次方的 $2 q$-th 伪矩 $\Psi_{2q,\alpha}(x)$ 定义为部分求和的 $2 q$-th 矩到临界线上的 $\zeta^\alpha$ 的 $x$。使用 Harper 的概率方法，我们证明了当 $q \le \frac{1}{2}$ 和 $\alpha \ge 1$ 时这些伪矩的上限和下限。结合 Bondarenko、Heap 和 Seip 的结果，这些边界确定了 $q > 0$ 和 $\alpha \ge 1$ 的所有伪矩的大小，最大为 $\log \log x$ 的幂，其中 $x$ 是部分总和的长度，结果表明存在具有不同生长行为的三个不同范围。特别是，对于所有 $q > 0$，结果给出了 $\Psi_{2 q, 1}(x)$ 的数量级。