An example is constructed of a subset $$A \subset \mathbb {Z}_N$$ A ⊂ Z N of density $${1\over 2}+o(1)$$ 1 2 + o ( 1 ) such that all the non-trivial Fourier coefficients of the characteristic function of A are very small, but if $$x,d \in \mathbb {Z}_N$$ x , d ∈ Z N are chosen uniformly at random, then the probability that $$x, x+d, x+2d$$ x , x + d , x + 2 d and $$x+3d$$ x + 3 d all belong to A is at most $${1\over 16}-c$$ 1 16 - c , where $$c>0$$ c > 0 is an absolute constant.

中文翻译：

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长度为 4 的等差数列少于预期的统一集

一个例子是由密度 $${1\over 2}+o(1)$$ 1 2 + o ( 1 ) 的子集 $$A \subset \mathbb {Z}_N$$ A ⊂ ZN 构成的，使得所有A 的特征函数的非平凡傅立叶系数非常小，但如果随机均匀选择 $$x,d \in \mathbb {Z}_N$$ x , d ∈ ZN，则 $$ x, x+d, x+2d$$ x , x + d , x + 2 d 和 $$x+3d$$ x + 3 d 都属于 A 至多 $${1\over 16}-c $$ 1 16 - c ，其中 $$c>0$$ c > 0 是绝对常数。