Let the group $G = AB$ be the product of subgroups $A$ and $B$, and let $p$ be a prime. We prove that $p$ does not divide the conjugacy class size (index) of each $p$-regular element of prime power order $x\in A\cup B$ if and only if $G$ is $p$-decomposable, i.e. $G=O_p(G) \times O_{p'}(G)$.

中文翻译：

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关于不能被给定素数整除的群和指数的乘积

令群$G = AB$ 为子群$A$ 和$B$ 的乘积，令$p$ 为素数。我们证明 $p$ 不划分素幂阶 $x\in A\cup B$ 的每个 $p$-正则元素的共轭类大小（索引）当且仅当 $G$ 是 $p$-decomposable ，即 $G=O_p(G) \times O_{p'}(G)$。