Extending work of Kapouleas and Yang, for any integers $N \geq 2$, $k, \ell \geq 1$, and $m$ sufficiently large, we apply gluing methods to construct in the round $3$-sphere a closed embedded minimal surface that has genus $k\ell m^2(N-1)+1$ and is invariant under a $D_{km} \times D_{\ell m}$ subgroup of $O(4)$, where $D_n$ is the dihedral group of order $2n$. Each such surface resembles the union of $N$ nested topological tori, all small perturbations of a single Clifford torus $\mathbb{T}$, that have been connected by $k\ell m^2 (N-1)$ small catenoidal tunnels, with $k \ell m^2$ tunnels joining each pair of neighboring tori. In the large-$m$ limit for fixed $N$, $k$, and $\ell$, the corresponding surfaces converge to $\mathbb{T}$ counted with multiplicity $N$.

中文翻译：

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通过堆叠 Clifford tori 来最小化 $3$-sphere 中的曲面

扩展 Kapouleas 和 Yang 的工作，对于任何足够大的整数 $N\geq 2$、$k、\ell\geq 1$ 和 $m$，我们应用胶合方法在圆 $3$-sphere 中构造一个封闭的嵌入具有属 $k\ell m^2(N-1)+1$ 并且在 $O(4)$ 的 $D_{km} \times D_{\ell m}$ 子群下不变的最小曲面，其中 $ D_n$ 是 $2n$ 阶的二面体群。每个这样的表面类似于 $N$ 嵌套拓扑环面的联合，单个 Clifford 环面 $\mathbb{T}$ 的所有小扰动，已通过 $k\ell m^2 (N-1)$ 小悬链线连接隧道，$k \ell m^2$ 隧道连接每对相邻的环面。在固定 $N$、$k$ 和 $\ell$ 的大 $m$ 限制中，相应的曲面收敛到 $\mathbb{T}$ 以多重 $N$ 计数。