We introduce coordinates for a principal bundle $S\tilde{T}(F)$ over the super Teichmuller space $ST(F)$ of a surface F with $s \geq 1$ punctures that extend the lambda length coordinates on the decorated bundle $\tilde{T}(F) = T(F) \times \mathbb{R}^s_{+}$ over the usual Teichmuller space $T(F)$. In effect, the action of a Fuchsian subgroup of $PSL (2, \mathbb{R})$ on Minkowski space $\mathbb{R}^{2,1}$ is replaced by the action of a super Fuchsian subgroup of $OSp (1\vert 2)$ on the super Minkowski space $\mathbb{R}^{2, 1 \vert 2}$, where $OSp (1\vert 2)$ denotes the orthosymplectic Lie supergroup, and the lambda lengths are extended by fermionic invariants of suitable triples of isotropic vectors in $\mathbb{R}^{2, 1 \vert 2}$. As in the bosonic case, there is the analogue of the Ptolemy transformation now on both even and odd coordinates as well as an invariant even two-form on $S\tilde{T}(F)$ generalizing the Weil–Petersson Kahler form. This, finally, solves a problem posed in Yuri Ivanovitch Manin’s Moscow seminar some thirty years ago to find the super analogue of decorated Teichmuller theory and provides a natural geometric interpretation in $\mathbb{R}^{2, 1 \vert 2}$ for the super moduli of $S\tilde{T}(F)$.

中文翻译：

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装饰的超级泰希米勒空间

我们在表面 F 的超级 Teichmuller 空间 $ST(F)$ 上引入主丛 $S\tilde{T}(F)$ 的坐标，其中 $s\geq 1$ 穿孔扩展了装饰上的 lambda 长度坐标在通常的 Teichmuller 空间 $T(F)$ 上捆绑 $\tilde{T}(F) = T(F) \times \mathbb{R}^s_{+}$。实际上，$PSL (2, \mathbb{R})$ 的 Fuchsian 子群在 Minkowski 空间 $\mathbb{R}^{2,1}$ 上的作用被 $ 的超 Fuchsian 子群的作用所代替超闵可夫斯基空间 $\mathbb{R}^{2, 1 \vert 2}$ 上的 OSp (1\vert 2)$，其中 $OSp (1\vert 2)$ 表示正辛李超群，λ 长度由 $\mathbb{R}^{2, 1 \vert 2}$ 中各向同性向量的合适三元组的费米子不变量扩展。在玻色子的情况下，现在在偶数和奇数坐标上都有托勒密变换的类似物，以及在 $S\tilde{T}(F)$ 上推广 Weil-Petersson Kahler 形式的不变偶二形式。最后，这解决了大约 30 年前尤里·伊万诺维奇·马宁 (Yuri Ivanovitch Manin) 在莫斯科研讨会上提出的一个问题，即寻找装饰 Teichmuller 理论的超级类似物，并在 $\mathbb{R}^{2, 1 \vert 2}$ 中提供自然的几何解释对于 $S\tilde{T}(F)$ 的超模。