In this paper we study the bilinear multiplier operator of the form \begin{align*}&H^t(f,g)(x)=\int_{\mathbb{R}^d}\!\int_{\mathbb{R}^d} m(t\xi,t\eta)\,\mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} t|(\xi,\eta)|}\, \widehat{f}(\xi)\, \widehat{g}(\eta)\, \mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i}x(\xi +\eta)}\,d \xi d \eta, \\&1 \le t \le 2\end{align*}where $m$ satisfies the Marcinkiewicz–Mikhlin–Hörmander’s derivative conditions. And by obtaining some estimates for $H^t$, we establish the $L^{p_1}(\mathbb{R}^d) \times L^{p_2}(\mathbb{R}^d) \rightarrow L^p(\mathbb{R}^d)$ estimates for the bi(sub)-linear spherical maximal operators\[\mathcal{M}(f,g)(x)=\sup_{t>0} \left| \int_{\mathbb{S}^{2d-1}} f(x-ty)\, g(x-tz)\, d \sigma_{2d}(y,z)\right|\] which was considered by Barrionevo et al in [1], here $\sigma_{2d}$ denotes the surface measure on the unit sphere $\mathbb{S}^{2d-1}$. In order to investigate $\mathcal{M}$ we use the asymptotic expansion of the Fourier transform of the surface measure $\sigma_{2d}$ and study the related bilinear multiplier operator $H^t(f,g)$. To treat the bad behavior of the term $\mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} t|(\xi,\eta)|}$ in $H^t$, we rewrite $\mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} t|(\xi,\eta)|}$ as the summation of $\mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i}t\sqrt{N^2+|\eta|^2}} a_N(t\xi,t\eta)$’s where $N$’s are positive integers, $a_N(\xi,\eta)$ satisfies the Marcinkiewicz–Mikhlin–Hörmander condition in $\eta$, and $\mbox{supp}(a_N(\cdot, \eta)) \subset \{\xi : N\le |\xi|<N+1\}$. By using these decompositions, we significantly improve the results of Barrionevo et al in [1].

中文翻译：

---

双线性球面极大算子的改进界

在本文中，我们研究\ begin {align *}＆H ^ t（f，g）（x）= \ int _ {\ mathbb {R} ^ d} \！\ int _ {\ mathbb {R } ^ d} m（t \ xi，t \ eta）\，\ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t |（\ xi，\ eta）|} \，\ widehat {f}（ \ xi）\，\ widehat {g}（\ eta）\，\ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} x（\ xi + \ eta）} \，d \ xi d \ eta，\ \＆1 \ le t \ le 2 \ end {align *}其中$ m $满足Marcinkiewicz-Mikhlin-Hörmander的导数条件。通过获得$ H ^ t $的一些估计，我们建立$ L ^ {p_1}（\ mathbb {R} ^ d）\ times L ^ {p_2}（\ mathbb {R} ^ d）\ rightarrow L ^双线性线性球面最大算子的p（\ mathbb {R} ^ d）$估计\ [\ mathcal {M}（f，g）（x）= \ sup_ {t> 0} \ left | \ int _ {\ mathbb {S} ^ {2d-1}} f（x-ty）\，g（x-tz）\，d \ sigma_ {2d}（y，z）\ right | \]由Barrionevo等人在[1]中提出，这里$ \ sigma_ {2d} $表示单位球面$ \ mathbb {S} ^ {2d-1} $上的表面度量。为了研究$ \ mathcal {M} $，我们使用表面度量$ \ sigma_ {2d} $的Fourier变换的渐近展开，并研究相关的双线性乘法算子$ H ^ t（f，g）$。为了处理$ H ^ t $中的术语$ \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t |（\ xi，\ eta）|} $中的不良行为，我们重写$ \ mathrm {e } ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t |（\ xi，\ eta）|} $作为$ \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t \ sqrt {N ^ 2 + | \ eta | ^ 2}} a_N（t \ xi，t \ eta）$，其中$ N $是正整数，$ a_N（\ xi，\ eta）$满足Marcinkiewicz–Mikhlin–Hörmander条件$ \ eta $和$ \ mbox {supp}（a_N（\ cdot，\ eta））\ subset \ {\ xi：N \ le | \ xi | <N + 1 \} $。通过使用这些分解，我们显着改善了Barrionevo的结果 为了研究$ \ mathcal {M} $，我们使用表面度量$ \ sigma_ {2d} $的Fourier变换的渐近展开，并研究相关的双线性乘法算子$ H ^ t（f，g）$。为了处理$ H ^ t $中的术语$ \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t |（\ xi，\ eta）|} $中的不良行为，我们重写$ \ mathrm {e } ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t |（\ xi，\ eta）|} $作为$ \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t \ sqrt {N ^ 2 + | \ eta | ^ 2}} a_N（t \ xi，t \ eta）$，其中$ N $是正整数，$ a_N（\ xi，\ eta）$满足Marcinkiewicz–Mikhlin–Hörmander条件$ \ eta $和$ \ mbox {supp}（a_N（\ cdot，\ eta））\ subset \ {\ xi：N \ le | \ xi | <N + 1 \} $。通过使用这些分解，我们显着改善了Barrionevo的结果 为了研究$ \ mathcal {M} $，我们使用表面度量$ \ sigma_ {2d} $的Fourier变换的渐近展开，并研究相关的双线性乘法算子$ H ^ t（f，g）$。为了处理$ H ^ t $中的术语$ \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t |（\ xi，\ eta）|} $中的不良行为，我们重写$ \ mathrm {e } ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t |（\ xi，\ eta）|} $作为$ \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t \ sqrt {N ^ 2 + | \ eta | ^ 2}} a_N（t \ xi，t \ eta）$，其中$ N $是正整数，$ a_N（\ xi，\ eta）$满足Marcinkiewicz–Mikhlin–Hörmander条件$ \ eta $和$ \ mbox {supp}（a_N（\ cdot，\ eta））\ subset \ {\ xi：N \ le | \ xi | <N + 1 \} $。通过使用这些分解，我们显着改善了Barrionevo的结果 为了处理$ H ^ t $中的术语$ \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t |（\ xi，\ eta）|} $中的不良行为，我们重写$ \ mathrm {e } ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t |（\ xi，\ eta）|} $作为$ \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t \ sqrt {N ^ 2 + | \ eta | ^ 2}} a_N（t \ xi，t \ eta）$，其中$ N $是正整数，$ a_N（\ xi，\ eta）$满足Marcinkiewicz–Mikhlin–Hörmander条件$ \ eta $和$ \ mbox {supp}（a_N（\ cdot，\ eta））\ subset \ {\ xi：N \ le | \ xi | <N + 1 \} $。通过使用这些分解，我们显着改善了Barrionevo的结果 为了处理$ H ^ t $中的术语$ \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t |（\ xi，\ eta）|} $中的不良行为，我们重写$ \ mathrm {e } ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t |（\ xi，\ eta）|} $作为$ \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t \ sqrt {N ^ 2 + | \ eta | ^ 2}} a_N（t \ xi，t \ eta）$，其中$ N $是正整数，$ a_N（\ xi，\ eta）$满足Marcinkiewicz–Mikhlin–Hörmander条件$ \ eta $和$ \ mbox {supp}（a_N（\ cdot，\ eta））\ subset \ {\ xi：N \ le | \ xi | <N + 1 \} $。通过使用这些分解，我们显着改善了Barrionevo的结果 和$ \ mbox {supp}（a_N（\ cdot，\ eta））\ subset \ {\ xi：N \ le | \ xi | <N + 1 \} $。通过使用这些分解，我们显着改善了Barrionevo的结果 和$ \ mbox {supp}（a_N（\ cdot，\ eta））\ subset \ {\ xi：N \ le | \ xi | <N + 1 \} $。通过使用这些分解，我们显着改善了Barrionevo的结果等人在[1]中。