Knapsack problems are classic models that can formulate a wide range of applications. In this work, we deal with the Budgeted Maximum Coverage Problem (BMCP), which is a generalized 0-1 knapsack problem. Given a set of items with nonnegative weights and a set of elements with nonnegative profits, where each item is composed of a subset of elements, BMCP aims to pack a subset of items in a capacity-constrained knapsack such that the total weight of the selected items does not exceed the knapsack capacity, and the total profit of the associated elements is maximized. Note that each element is counted once even if it is covered multiple times. BMCP is closely related to the Set-Union Knapsack Problem (SUKP) that is well studied in recent years. As the counterpart problem of SUKP, however, BMCP was introduced early in 1999 but since then it has been rarely studied, especially there is no practical algorithm proposed. By combining the reinforcement learning technique to the local search procedure, we propose a probability learning based tabu search (PLTS) algorithm for addressing this NP-hard problem. The proposed algorithm iterates through two distinct phases, namely a tabu search phase and a probability learning based perturbation phase. As there is no benchmark instances proposed in the literature, we generate 30 benchmark instances with varied properties. Experimental results demonstrate that our PLTS algorithm significantly outperforms the general CPLEX solver for solving the challenging BMCP in terms of the solution quality.

中文翻译：

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基于概率学习的禁忌搜索预算最大覆盖问题

背包问题是经典模型，可以制定广泛的应用程序。在这项工作中，我们处理预算最大覆盖问题（BMCP），这是一个广义的 0-1 背包问题。给定一组具有非负权重的物品和一组具有非负利润的元素，其中每个物品由一个元素子集组成，BMCP 旨在将物品子集包装在容量受限的背包中，使得所选物品的总重量为物品不超过背包容量，关联元素的总利润最大化。请注意，即使每个元素被多次覆盖，也只计算一次。BMCP 与近年来得到充分研究的 Set-Union Knapsack Problem (SUKP) 密切相关。然而，作为 SUKP 的对应问题，BMCP 早在 1999 年就被引入，但此后很少有人研究它，尤其是没有提出实用的算法。通过将强化学习技术与局部搜索程序相结合，我们提出了一种基于概率学习的禁忌搜索 (PLTS) 算法来解决这个 NP 难题。所提出的算法迭代两个不同的阶段，即禁忌搜索阶段和基于概率学习的扰动阶段。由于文献中没有提出基准实例，我们生成了 30 个具有不同属性的基准实例。实验结果表明，我们的 PLTS 算法在解决具有挑战性的 BMCP 的解决方案质量方面明显优于通用 CPLEX 求解器。通过将强化学习技术与局部搜索程序相结合，我们提出了一种基于概率学习的禁忌搜索 (PLTS) 算法来解决这个 NP 难题。所提出的算法迭代两个不同的阶段，即禁忌搜索阶段和基于概率学习的扰动阶段。由于文献中没有提出基准实例，我们生成了 30 个具有不同属性的基准实例。实验结果表明，我们的 PLTS 算法在解决具有挑战性的 BMCP 的解决方案质量方面明显优于通用 CPLEX 求解器。通过将强化学习技术与局部搜索程序相结合，我们提出了一种基于概率学习的禁忌搜索 (PLTS) 算法来解决这个 NP 难题。所提出的算法迭代两个不同的阶段，即禁忌搜索阶段和基于概率学习的扰动阶段。由于文献中没有提出基准实例，我们生成了 30 个具有不同属性的基准实例。实验结果表明，我们的 PLTS 算法在解决具有挑战性的 BMCP 的解决方案质量方面明显优于通用 CPLEX 求解器。即禁忌搜索阶段和基于概率学习的扰动阶段。由于文献中没有提出基准实例，我们生成了 30 个具有不同属性的基准实例。实验结果表明，我们的 PLTS 算法在解决具有挑战性的 BMCP 的解决方案质量方面明显优于通用 CPLEX 求解器。即禁忌搜索阶段和基于概率学习的扰动阶段。由于文献中没有提出基准实例，我们生成了 30 个具有不同属性的基准实例。实验结果表明，我们的 PLTS 算法在解决具有挑战性的 BMCP 的解决方案质量方面明显优于通用 CPLEX 求解器。