The problem of scheduling unrelated machines by a truthful mechanism to minimize the makespan was introduced in the seminal "Algorithmic Mechanism Design" paper by Nisan and Ronen. Nisan and Ronen showed that there is a truthful mechanism that provides an approximation ratio of $\min(m,n)$, where $n$ is the number of machines and $m$ is the number of jobs. They also proved that no truthful mechanism can provide an approximation ratio better than $2$. Since then, the lower bound was improved to $1 +\sqrt 2 \approx 2.41$ by Christodoulou, Kotsoupias, and Vidali, and then to $1+\phi\approx 2.618$ by Kotsoupias and Vidali. Very recently, the lower bound was improved to $2.755$ by Giannakopoulos, Hammerl, and Pocas. In this paper we further improve the bound to $3-\delta$, for every constant $\delta>0$. Note that a gap between the upper bound and the lower bounds exists even when the number of machines and jobs is very small. In particular, the known $1+\sqrt{2}$ lower bound requires at least $3$ machines and $5$ jobs. In contrast, we show a lower bound of $2.2055$ that uses only $3$ machines and $3$ jobs and a lower bound of $1+\sqrt 2$ that uses only $3$ machines and $4$ jobs. For the case of two machines and two jobs we show a lower bound of $2$. Similar bounds for two machines and two jobs were known before but only via complex proofs that characterized all truthful mechanisms that provide a finite approximation ratio in this setting, whereas our new proof uses a simple and direct approach.

中文翻译：

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改进真实调度的下限

Nisan 和 Ronen 在开创性的“算法机制设计”论文中介绍了通过真实机制调度无关机器以最小化完工时间的问题。Nisan 和 Ronen 表明，有一个真实的机制提供了 $\min(m,n)$ 的近似比率，其中 $n$ 是机器的数量，$m$ 是工作的数量。他们还证明，没有任何真实的机制可以提供比 2 美元更好的近似比率。从那以后，Christodoulou、Kotsoupias 和 Vidali 将下限提高到 $1 +\sqrt 2 \approx 2.41$，然后由 Kotsoupias 和 Vidali 提高到 $1+\phi\approx 2.618$。最近，Giannakopoulos、Hammerl 和 Pocas 将下限提高到 2.755 美元。在本文中，我们进一步改进了 $3-\delta$ 的界限，对于每个常量 $\delta>0$。请注意，即使机器和作业的数量非常少，上限和下限之间也存在差距。特别是，已知的 $1+\sqrt{2}$ 下限需要至少 $3$ 的机器和 $5$ 的工作。相比之下，我们展示了仅使用 3 美元机器和 3 美元作业的 2.2055 美元下限，以及仅使用 3 美元机器和 4 美元作业的 1+\sqrt 2$ 下限。对于两台机器和两个作业的情况，我们显示了 $2$ 的下限。两台机器和两份工作的类似界限之前是已知的，但只能通过复杂的证明来表征，这些证明在此设置中提供了有限近似比的所有真实机制，而我们的新证明使用了一种简单而直接的方法。已知的 $1+\sqrt{2}$ 下限至少需要 $3$ 的机器和 $5$ 的工作。相比之下，我们展示了仅使用 3 美元机器和 3 美元作业的 2.2055 美元下限，以及仅使用 3 美元机器和 4 美元作业的 1+\sqrt 2$ 下限。对于两台机器和两个作业的情况，我们显示了 $2$ 的下限。两台机器和两份工作的类似界限之前是已知的，但只能通过复杂的证明来表征，这些证明在此设置中提供了有限近似比的所有真实机制，而我们的新证明使用了一种简单而直接的方法。已知的 $1+\sqrt{2}$ 下限至少需要 $3$ 的机器和 $5$ 的工作。相比之下，我们展示了仅使用 3 美元机器和 3 美元作业的 2.2055 美元下限，以及仅使用 3 美元机器和 4 美元作业的 1+\sqrt 2$ 下限。对于两台机器和两个作业的情况，我们显示了 $2$ 的下限。两台机器和两份工作的类似界限之前是已知的，但只能通过复杂的证明来表征，这些证明在此设置中提供了有限近似比的所有真实机制，而我们的新证明使用了一种简单而直接的方法。