We consider a fair division model in which agents have positive, zero and negative utilities for items. For this model, we analyse one existing fairness property - EFX - and three new and related properties - EFX$_0$, EFX$^3$ and EF1$^3$ - in combination with Pareto-optimality. With general utilities, we give a modified version of an existing algorithm for computing an EF1$^3$ allocation. With $-\alpha/0/\alpha$ utilities, this algorithm returns an EFX$^3$ and PO allocation. With absolute identical utilities, we give a new algorithm for an EFX and PO allocation. With $-\alpha/0/\beta$ utilities, this algorithm also returns such an allocation. We report some new impossibility results as well.

中文翻译：

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混合甘露加法和公平分割的两种算法

我们考虑一个公平的划分模型，其中代理对项目具有正效用、零效用和负效用。对于这个模型，我们结合帕累托最优分析了一个现有的公平属性 - EFX - 和三个新的相关属性 - EFX$_0$、EFX$^3$ 和 EF1$^3$。对于通用实用程序，我们给出了用于计算 EF1$^3$ 分配的现有算法的修改版本。使用 $-\alpha/0/\alpha$ 实用程序，此算法返回 EFX$^3$ 和 PO 分配。使用绝对相同的实用程序，我们为 EFX 和 PO 分配提供了一种新算法。使用 $-\alpha/0/\beta$ 实用程序，该算法也返回这样的分配。我们还报告了一些新的不可能结果。