Hermite series based distribution function estimators have recently been applied in the context of sequential quantile estimation. These distribution function estimators are particularly useful because they allow the online (sequential) estimation of the full cumulative distribution function. This is in contrast to the empirical distribution function estimator and smooth kernel distribution function estimator which only allow sequential cumulative probability estimation at particular values on the support of the associated density function. Hermite series based distribution function estimators are well suited to the settings of streaming data, one-pass analysis of massive data sets and decentralised estimation. In this article we study these estimators in a more general context, thereby redressing a gap in the literature. In particular, we derive new asymptotic consistency results in the mean squared error, mean integrated squared error and almost sure sense. We also present novel Bias-robustness results for these estimators. Finally, we study the finite sample performance of the Hermite series based estimators through a real data example and simulation study. Our results indicate that in the general (non-sequential) context, the Hermite series based distribution function estimators are inferior to smooth kernel distribution function estimators, but may remain compelling in the context of sequential estimation of the full distribution function.

中文翻译：

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基于 Hermite 级数的分布函数估计器的性质

基于 Hermite 级数的分布函数估计器最近已应用于顺序分位数估计的上下文中。这些分布函数估计器特别有用，因为它们允许对完整的累积分布函数进行在线（顺序）估计。这与经验分布函数估计器和平滑核分布函数估计器形成对比，后者仅允许在相关密度函数的支持下在特定值处进行顺序累积概率估计。基于 Hermite 系列的分布函数估计器非常适合流式数据的设置、海量数据集的一次性分析和分散估计。在本文中，我们在更一般的背景下研究这些估计量，从而弥补文献中的空白。特别是，我们在均方误差、均值积分平方误差和几乎肯定的意义上得出新的渐近一致性结果。我们还为这些估计器提供了新颖的偏差稳健性结果。最后，我们通过真实数据示例和模拟研究来研究基于 Hermite 级数的估计器的有限样本性能。我们的结果表明，在一般（非顺序）上下文中，基于 Hermite 级数的分布函数估计器不如平滑核分布函数估计器，但在完整分布函数的顺序估计上下文中可能仍然引人注目。我们通过真实数据示例和模拟研究来研究基于 Hermite 级数的估计器的有限样本性能。我们的结果表明，在一般（非顺序）上下文中，基于 Hermite 级数的分布函数估计器不如平滑核分布函数估计器，但在完整分布函数的顺序估计上下文中可能仍然引人注目。我们通过真实数据示例和模拟研究来研究基于 Hermite 级数的估计器的有限样本性能。我们的结果表明，在一般（非顺序）上下文中，基于 Hermite 级数的分布函数估计器不如平滑核分布函数估计器，但在完整分布函数的顺序估计上下文中可能仍然引人注目。