In this paper, we consider the following symmetric Dirichlet forms on a metric measure space $(M,d,\mu)$: $$\mathcal{E}(f,g) = \mathcal{E}(^{(c)}(f,g)+\int_{M\times M} (f(x)-f(y))(g(x)-g(y))\,J(dx,dy),$$ where $\mathcal{E}(^{(c)}$ is a strongly local symmetric bilinear form and $J(dx,dy)$ is a symmetric Random measure on $M\times M$. Under general volume doubling condition on $(M,d,\mu)$ and some mild assumptions on scaling functions, we establish stability results for upper bounds of heat kernel (resp.\ two-sided heat kernel estimates) in terms of the jumping kernels, the cut-off Sobolev inequalities, and the Faber-Krahn inequalities (resp.\ the Poincar\'e inequalities). We also obtain characterizations of parabolic Harnack inequalities. Our results apply to symmetric diffusions with jumps even when the underlying spaces have walk dimensions larger than $2$.

中文翻译：

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对称 Dirichlet 形式的热核估计和抛物线 Harnack 不等式

在本文中，我们在度量空间 $(M,d,\mu)$ 上考虑以下对称 Dirichlet 形式： $$\mathcal{E}(f,g) = \mathcal{E}(^{(c )}(f,g)+\int_{M\times M} (f(x)-f(y))(g(x)-g(y))\,J(dx,dy),$$ 其中$\mathcal{E}(^{(c)}$ 是强局部对称双线性形式，$J(dx,dy)$ 是 $M\times M$ 上的对称随机测度。在 $ 上的一般体积倍增条件下(M,d,\mu)$ 和对标度函数的一些温和假设，我们根据跳跃核、截止 Sobolev 建立热核上限的稳定性结果（resp.\ 两侧热核估计）不等式，以及 Faber-Krahn 不等式（resp.\ the Poincar\'e 不等式）。我们还获得了抛物线 Harnack 不等式的特征。我们的结果适用于具有跳跃的对称扩散，即使底层空间的步行尺寸大于 $2$。