We introduce a new family of Poisson vertex algebras $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ analogous to the classical $\mathcal{W}$-algebras. The algebra $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ is associated with the centralizer $\mathfrak{a}$ of an arbitrary nilpotent element in $\mathfrak{gl}_N$. We show that $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ is an algebra of polynomials in infinitely many variables and produce its free generators in an explicit form. This implies that $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ is isomorphic to the center at the critical level of the affine vertex algebra associated with $\mathfrak{a}$.

中文翻译：

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经典的 $$\mathcal {W}$$-集中器的代数

我们引入了一个新的泊松顶点代数族 $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ 类似于经典的 $\mathcal{W}$-代数。代数 $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ 与 $\mathfrak{gl}_N$ 中任意幂零元的中心化器 $\mathfrak{a}$ 相关联。我们证明 $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ 是无限多变量多项式的代数，并以显式形式生成其自由生成器。这意味着 $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ 与 $\mathfrak{a}$ 相关的仿射顶点代数的临界层的中心同构。