A class of computationally efficient DOA estimators under the Partial Relaxation (PR) framework has recently been proposed. Conceptually different from conventional DOA estimation methods in the literature, the estimators under the PR framework rely on the non-complete relaxation of the array manifold while performing a spectral-search in the field of view. This particular type of relaxation essentially implies a modified signal model with partial information loss due to the relaxation. The information loss and its impact on the DOA estimation performance have not yet been analytically quantified in the literature. In this paper, the information loss induced by the relaxation of the array manifold is investigated through the Cramér-Rao Bound (CRB). The closed-form expression of the CRB for DOA estimation under the PR model, on the one hand, provides insight on the information loss in the asymptotic region where the number of snapshots tends to infinity. On the other hand, the proposed CRB characterizes the lower bound for the DOA estimation performance of all PR estimators. We prove that, under the assumptions of Gaussian source signal and noise, the CRB of the PR signal model is lower-bounded by the conventional stochastic CRB. We also prove that the previously proposed Weighted Subspace Fitting estimator under the PR framework asymptotically achieves the CRB of the PR signal model. Furthermore, it is shown that the asymptotic mean-squared errors of all Weighted Subspace Fitting estimators under the PR framework for any positive definite weighting matrix are identical.

中文翻译：

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部分松弛框架下 DOA 估计量的 Cramer-Rao 界：推导与比较

最近提出了一类在部分松弛 (PR) 框架下计算效率高的 DOA 估计器。在概念上与文献中传统的 DOA 估计方法不同，PR 框架下的估计器在视场中执行谱搜索时依赖于阵列流形的非完全松弛。这种特定类型的弛豫本质上意味着一个经过修改的信号模型，由于弛豫而导致部分信息丢失。信息损失及其对 DOA 估计性能的影响尚未在文献中进行分析量化。在本文中，通过Cramér-Rao Bound（CRB）研究了由阵列流形松弛引起的信息损失。PR模型下用于DOA估计的CRB的闭式表达，一方面，提供有关快照数量趋于无穷大的渐近区域中的信息丢失的见解。另一方面，所提出的 CRB 表征了所有 PR 估计器的 DOA 估计性能的下限。我们证明，在高斯源信号和噪声的假设下，PR信号模型的CRB是常规随机CRB的下界。我们还证明了之前提出的 PR 框架下的 Weighted Subspace Fitting estimator 渐近地实现了 PR 信号模型的 CRB。此外，还表明对于任何正定权重矩阵，PR 框架下所有加权子空间拟合估计量的渐近均方误差是相同的。另一方面，所提出的 CRB 表征了所有 PR 估计器的 DOA 估计性能的下限。我们证明，在高斯源信号和噪声的假设下，PR信号模型的CRB是常规随机CRB的下界。我们还证明了之前提出的 PR 框架下的 Weighted Subspace Fitting estimator 渐近地实现了 PR 信号模型的 CRB。此外，还表明对于任何正定权重矩阵，PR 框架下所有加权子空间拟合估计量的渐近均方误差是相同的。另一方面，所提出的 CRB 表征了所有 PR 估计器的 DOA 估计性能的下限。我们证明，在高斯源信号和噪声的假设下，PR信号模型的CRB是常规随机CRB的下界。我们还证明了之前提出的 PR 框架下的 Weighted Subspace Fitting estimator 渐近地实现了 PR 信号模型的 CRB。此外，还表明对于任何正定权重矩阵，PR 框架下所有加权子空间拟合估计量的渐近均方误差是相同的。PR 信号模型的 CRB 受常规随机 CRB 的下限。我们还证明了之前提出的 PR 框架下的 Weighted Subspace Fitting estimator 渐近地实现了 PR 信号模型的 CRB。此外，还表明对于任何正定权重矩阵，PR 框架下所有加权子空间拟合估计量的渐近均方误差是相同的。PR 信号模型的 CRB 受常规随机 CRB 的下限。我们还证明了之前提出的 PR 框架下的 Weighted Subspace Fitting estimator 渐近地实现了 PR 信号模型的 CRB。此外，还表明对于任何正定权重矩阵，PR 框架下所有加权子空间拟合估计量的渐近均方误差是相同的。