Let $\exp^{k,\alpha}$ denote a tetration function defined as follows: $\exp^{1,\alpha}=2^{\alpha}$ and $\exp^{k+1,\alpha}=2^{\exp^{k,\alpha}}$, where $k,\alpha$ are positive integers. Let $\Delta_n$ denote an alphabet with $n$ letters. If $L\subseteq\Delta_n^*$ is an infinite language such that for each $u\in L$ there is $v\in L$ with $\vert u\vert<\vert v\vert\leq \exp^{k,\alpha}\vert u\vert$ then we call $L$ a language with the \emph{growth bounded by} $(k,\alpha)$-tetration. Given two infinite languages $L_1,L_2\in \Delta_n^*$, we say that $L_1$ \emph{dissects} $L_2$ if $\vert L_1\cap L_2\vert=\infty$ and $\vert(\Delta_n^*\setminus L_1)\cap L_2\vert=\infty$. Given a context free language $L$, let $\kappa(L)$ denote the size of the smallest context free grammar $G$ that generates $L$. We define the size of a grammar to be the total number of symbols on the right sides of all production rules. Given positive integers $n,k$ with $k\geq 2$, we show that there are context free languages $L_1,L_2,\dots, L_{3k-3}\subseteq \Delta^*_n$ with $\kappa(L_i)\leq 40 k$ such that if $\alpha$ is a positive integer and $L\subseteq\Delta_n^*$ is an infinite language with the growth bounded by $(k,\alpha)$-tetration then there is a regular language $M$ such that $M\cap\left(\bigcap_{i=1}^{3k-3}L_i\right)$ dissects $L$ and the minimal deterministic finite automaton accepting $M$ has at most $k+\alpha+3$ states.

中文翻译：

---

剖析上下文无关语言的有限交集的能力

让 $\exp^{k,\alpha}$ 表示定义如下的四次函数： $\exp^{1,\alpha}=2^{\alpha}$ 和 $\exp^{k+1,\alpha }=2^{\exp^{k,\alpha}}$，其中$k,\alpha$为正整数。让 $\Delta_n$ 表示一个带有 $n$ 个字母的字母表。如果 $L\subseteq\Delta_n^*$ 是一种无限语言，使得对于每个 $u\in L$ 都有 $v\in L$ 和 $\vert u\vert<\vert v\vert\leq \exp^ {k,\alpha}\vert u\vert$ 那么我们称 $L$ 是一种具有 \emph{growth bounded by} $(k,\alpha)$-tetration 的语言。给定两种无限语言 $L_1,L_2\in \Delta_n^*$，我们说 $L_1$ \emph{dissects} $L_2$ 如果 $\vert L_1\cap L_2\vert=\infty$ 和 $\vert(\ Delta_n^*\setminus L_1)\cap L_2\vert=\infty$。给定上下文无关语言 $L$，让 $\kappa(L)$ 表示生成 $L$ 的最小上下文无关文法 $G$ 的大小。我们将文法的大小定义为所有产生式规则右侧的符号总数。给定正整数 $n,k$ 和 $k\geq 2$，我们证明存在上下文无关语言 $L_1,L_2,\dots, L_{3k-3}\subseteq \Delta^*_n$ 和 $\kappa (L_i)\leq 40 k$ 使得如果 $\alpha$ 是一个正整数并且 $L\subseteq\Delta_n^*$ 是一种无限语言，其增长受限于 $(k,\alpha)$-tetration 那么有是常规语言 $M$，使得 $M\cap\left(\bigcap_{i=1}^{3k-3}L_i\right)$ 剖析 $L$ 并且接受 $M$ 的最小确定性有限自动机具有大多数 $k+\alpha+3$ 状态。