SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volume 52, Issue 2, Page 1844-1863, January 2020.
In this paper, we discuss a general approach to finding periodic solutions bifurcating from equilibrium points of classical Vlasov systems. The main access to the problem is chosen through the Hamiltonian representation of any Vlasov system, first put forward in [J. Fröhlich, A. Knowles, and S. Schwarz, Comm. Math. Phys., 288 (2009), pp. 1023--1059] and generalized in [R. A. Neiss and P. Pickl, J. Stat. Phys., 178 (2020), pp. 472--498; R. A. Neiss, Arch. Ration. Mech. Anal., 231 (2019), pp. 115--151]. The method transforms the problem into a setup of complex valued $\mathcal{L}^2$ functions with phase equivariant Hamiltonian. Through Marsden--Weinstein symmetry reduction [J. Marsden and A. Weinstein, Rep. Math. Phys., 5 (1974), pp. 121--130], the problem is mapped on a Hamiltonian system on the quotient manifold $\mathbb{S}^{\mathcal{L}^2}/\mathbb{S}^1$, which actually proves to be necessary to close many trajectories of the dynamics. As a toy model to apply the method we use the harmonic Vlasov system, a nonrelativistic Vlasov equation with attractive harmonic two-body interaction potential. The simple structure of this model allows us to compute all of its solutions directly and therefore test the benefits of the Hamiltonian formalism and symmetry reduction in Vlasov systems.

中文翻译：

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哈密​​顿Vlasov系统中的对称约简和周期解

SIAM数学分析杂志，第52卷，第2期，第1844-1863页，2020年1月。
在本文中，我们讨论了一种从经典Vlasov系统的平衡点分叉找到周期解的一般方法。该问题的主要途径是通过任何弗拉索夫系统的哈密顿表示来选择的，最早提出于[J.Am.Chem.Soc。，，，，，，，，。Fröhlich，A。Knowles和S.Schwarz，Comm。数学。Phys。，288（2009），第1023--1059页]，并在[RA Neiss and P. Pickl，J. Stat。物理，178（2020），第472--498页; RA Neiss，拱门。配给。机甲 Anal。，231（2019），第115--151页]。该方法将问题转化为具有相位等变哈密顿量的复值$ \ mathcal {L} ^ 2 $函数的设置。通过Marsden-Weinstein对称约简[J. Marsden和A. Weinstein，众议院数学。Phys。5（1974），pp。121--130]，该问题映射在商流形$ \ mathbb {S} ^ {\ mathcal {L} ^ 2} / \ mathbb {S} ^ 1 $上的哈密顿系统上，实际上证明有必要封闭这些运动的许多轨迹动力学。作为应用该方法的玩具模型，我们使用了谐波Vlasov系统，这是一个具有吸引性的谐波两体相互作用势的非相对论性Vlasov方程。该模型的简单结构使我们可以直接计算其所有解，因此可以测试Vlasov系统中哈密顿形式主义和对称约简的好处。