SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volume 52, Issue 3, Page 2411-2462, January 2020.
This paper is concerned with the Cauchy problem $u_{t}=u_{xx}+f(t,u),x\in \mathbb{R} ,t>0$ with initial function $u(0,\cdot)=u_0 (\cdot)\in L^{\infty} (\mathbb{R})$, where $f$ is a rather general nonlinearity that is periodic in $t$, and satisfies $f(\cdot,0)\equiv 0$ and that the corresponding ODE has a positive periodic solution $p(t)$. Assuming that $u_0$ is front-like, that is, $u_0(x)$ is close to $p(0)$ for $x\approx -\infty$ and close to $0$ for $x\approx \infty$, we aim to determine the long-time dynamical behavior of the solution $u(t,x)$ by using the notion of propagation terrace introduced by Ducrot, Giletti, and Matano [Trans. Amer. Math. Soc. 366 (2014), pp. 5541--5566]. We establish the existence and uniqueness of a propagating terrace for a very large class of nonlinearities and show the convergence of the solution $u(t,x)$ to the terrace as $t\to\infty$ under various conditions on $f$ or $u_0$. We first consider the special case where $u_0$ is a Heaviside type function and prove the converge result without requiring any nondegeneracy on $f$. Furthermore, if $u_0$ is more general such that it can be trapped between two Heaviside type functions, but not necessarily monotone, we show that the convergence result remains valid under a rather mild nondegeneracy assumption on $f$. Last, in the case where $f$ is a nondegenerate multistable nonlinearity, we show the global and exponential convergence for a much larger class of front-like initial data.

中文翻译：

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在$ \ mathbb {R} $上具有类似前期初始数据的时间周期反应扩散方程的动力学

SIAM数学分析杂志，第52卷，第3期，第2411-2462页，2020年1月。
本文涉及柯西问题$ u_ {t} = u_ {xx} + f（t，u），x \ in \ mathbb {R}，t> 0 $，初始函数为$ u（0，\ cdot） = u_0（\ cdot）\ in L ^ {\ infty}（\ mathbb {R}）$，其中$ f $是一个相当普遍的非线性，以$ t $为周期，并且满足$ f（\ cdot，0） \ equiv 0 $，并且相应的ODE具有正周期解$ p（t）$。假设$ u_0 $与正面相似，也就是说，对于$ x \ approx-\ infty $，$ u_0（x）$接近$ p（0）$，对于$ x \ approx -infty $，接近$ 0 $ ，我们的目的是通过使用Ducrot，Giletti和Matano [Trans。阿米尔。数学。Soc。366（2014），第5541--5566页]。我们针对大量非线性建立了传播平台的存在性和唯一性，并证明了解$ u（t，x）$在$ f $或$ u_0 $的各种条件下以$ t \ to \ infty $的价格到达露台。我们首先考虑$ u_0 $是Heaviside类型函数的特殊情况，并证明收敛结果而无需对$ f $进行任何简并性。此外，如果$ u_0 $更笼统，可以被困在两个Heaviside类型的函数之间，但不一定是单调的，则表明在对$ f $进行相当简并的非简并性假设时，收敛结果仍然有效。最后，在$ f $是非退化多稳态非线性的情况下，我们显示了更大类别的像前的初始数据的全局和指数收敛。此外，如果$ u_0 $更通用，可以被困在两个Heaviside类型的函数之间，但不一定是单调的，则表明在对$ f $进行相当不变性的假设下，收敛结果仍然有效。最后，在$ f $是非退化多稳态非线性的情况下，我们显示了更大类别的像前的初始数据的全局和指数收敛。此外，如果$ u_0 $更通用，可以被困在两个Heaviside类型的函数之间，但不一定是单调的，则表明在对$ f $进行相当不变性的假设下，收敛结果仍然有效。最后，在$ f $是非退化多稳态非线性的情况下，我们显示了更大类别的像前的初始数据的全局和指数收敛。