SIAM Journal on Discrete Mathematics, Volume 34, Issue 1, Page 520-537, January 2020.
A $k$-uniform hypergraph is said to be $r$-rainbow colorable if there is an $r$-coloring of its vertices such that every hyperedge intersects all $r$ color classes. Given as input such a hypergraph, finding a $r$-rainbow coloring of it is NP-hard for all $k \ge 3$ and $r \ge 2$. Therefore, one settles for finding a rainbow coloring with fewer colors (which is an easier task). When $r=k$ (the maximum possible value), i.e., the hypergraph is $k$-partite, one can efficiently $2$-rainbow color the hypergraph, i.e., $2$-color its vertices so that there are no monochromatic edges. In this work, we consider the next smaller value of $r=k-1$ and prove that in this case it is NP-hard to rainbow color the hypergraph with $q := \lceil \frac{k-2}{2} \rceil$ colors. In particular, for $k \le 6$, it is NP-hard to $2$-color $(k-1)$-rainbow colorable $k$-uniform hypergraphs. Our proof follows the algebraic approach to promise constraint satisfaction problems. It proceeds by characterizing the polymorphisms associated with the approximate rainbow coloring problem, which are rainbow colorings of some product hypergraphs on vertex set $[r]^n$. We prove that any such polymorphism $f: [r]^n \to [q]$ must be $C$-fixing, i.e., there are a small subset $S$ of $C$ coordinates and a setting $a \in [q]^S$ such that fixing $x_{|S} = a$ determines the value of $f(x)$. The key step in our proof is bounding the sensitivity of certain rainbow colorings, thereby arguing that they must be juntas. Armed with the $C$-fixing characterization, our NP-hardness is obtained via a reduction from smooth Label Cover.

中文翻译：

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通过低灵敏度多态性实现彩虹着色硬度

SIAM离散数学杂志，第34卷，第1期，第520-537页，2020年1月。
如果一个$ k $一致的超图在其顶点上具有$ r $色，从而每个超边都与所有$ r $颜色类相交，则称其为$ r $彩虹色。给定这样一个超图作为输入，对于所有$ k \ ge 3 $和$ r \ ge 2 $，找到它的$ r $-彩虹着色是NP-难的。因此，人们决定寻找颜色较少的彩虹色（这是一项较容易的任务）。当$ r = k $（最大可能值），即超图是$ k $ -partite时，可以有效地用$ 2 $-彩虹为超图着色，即，用$ 2 $-为其顶点着色，从而没有单色边。在这项工作中，我们考虑下一个较小的$ r = k-1 $值，并证明在这种情况下用$ q对超图进行彩虹着色是NP难的：= \ lceil \ frac {k-2} {2 } \ rceil $颜色。特别是对于$ k \ le 6 $，它是NP-hard到$ 2 $ -color $（k-1）$-rainbowable $ k $-均匀超图的。我们的证明遵循代数方法来承诺约束满足问题。它通过表征与近似彩虹着色问题相关的多态性来进行，该多态性是顶点集$ [r] ^ n $上某些乘积超图的彩虹着色。我们证明任何这样的多态性$ f：[r] ^ n \ to [q] $必须是$ C $固定的，即，存在$ C $坐标的一小部分$ S $和一个设置$ a \ in [q] ^ S $使得固定$ x_ {| S} = a $确定$ f（x）$的值。我们证明的关键步骤是限制某些彩虹色的敏感度，因此认为它们一定是juntas。借助$ C $固定特性，可以通过减少平滑的Label Cover获得NP硬度。我们的证明遵循代数方法来承诺约束满足问题。它通过表征与近似彩虹着色问题相关的多态性来进行，该多态性是顶点集$ [r] ^ n $上某些乘积超图的彩虹着色。我们证明任何这样的多态性$ f：[r] ^ n \ to [q] $必须是$ C $固定的，即，存在$ C $坐标的一小部分$ S $和一个设置$ a \ in [q] ^ S $使得固定$ x_ {| S} = a $确定$ f（x）$的值。我们证明的关键步骤是限制某些彩虹色的敏感度，因此认为它们一定是juntas。借助$ C $固定特性，我们的NP硬度可通过减少平滑的Label Cover获得。我们的证明遵循代数方法来承诺约束满足问题。它通过表征与近似彩虹着色问题相关的多态性来进行，该多态性是顶点集$ [r] ^ n $上某些乘积超图的彩虹着色。我们证明任何这样的多态性$ f：[r] ^ n \ to [q] $必须是$ C $固定的，即，存在$ C $坐标的一小部分$ S $和一个设置$ a \ in [q] ^ S $使得固定$ x_ {| S} = a $确定$ f（x）$的值。我们证明的关键步骤是限制某些彩虹色的敏感度，因此认为它们一定是juntas。借助$ C $固定特性，可以通过减少平滑的Label Cover获得NP硬度。它通过表征与近似彩虹着色问题相关的多态性来进行，该多态性是顶点集$ [r] ^ n $上某些乘积超图的彩虹着色。我们证明任何这样的多态性$ f：[r] ^ n \ to [q] $必须是$ C $固定的，即，存在$ C $坐标的一小部分$ S $和一个设置$ a \ in [q] ^ S $使得固定$ x_ {| S} = a $确定$ f（x）$的值。我们证明的关键步骤是限制某些彩虹色的敏感度，因此认为它们一定是juntas。借助$ C $固定特性，我们的NP硬度可通过减少平滑的Label Cover获得。它通过表征与近似彩虹着色问题相关的多态性来进行，该多态性是顶点集$ [r] ^ n $上某些乘积超图的彩虹着色。我们证明任何这样的多态性$ f：[r] ^ n \ to [q] $必须是$ C $固定的，即，存在$ C $坐标的一小部分$ S $和一个设置$ a \ in [q] ^ S $使得固定$ x_ {| S} = a $确定$ f（x）$的值。我们证明的关键步骤是限制某些彩虹色的敏感度，因此认为它们一定是juntas。借助$ C $固定特性，我们的NP硬度可通过减少平滑的Label Cover获得。在[q] ^ S $中有一个较小的$ C $坐标子集$ S $和一个设置$ a \，使得固定$ x_ {| S} = a $可以确定$ f（x）$的值。我们证明的关键步骤是限制某些彩虹色的敏感度，因此认为它们一定是juntas。借助$ C $固定特性，我们的NP硬度可通过减少平滑的Label Cover获得。在[q] ^ S $中有一个较小的$ C $坐标子集$ S $和一个设置$ a \，使得固定$ x_ {| S} = a $可以确定$ f（x）$的值。我们证明的关键步骤是限制某些彩虹色的敏感度，因此认为它们一定是juntas。借助$ C $固定特性，我们的NP硬度可通过减少平滑的Label Cover获得。