SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, Volume 19, Issue 2, Page 1080-1123, January 2020.
We study the emergent behavior of the matrix ensemble on the unitary group in which a state of each oscillator is influenced by the relative distances. Thus, the coupling strength becomes a time-dependent function and its temporal evolution is determined by a feedback rule incorporating the linear damping and the function of the relative distances between oscillators. Concerning the emergent behavior, we classify the types of an adaptive law: Hebbian and anti-Hebbian. For the Hebbian case, we see that the exponential complete synchronization emerges for some initial frameworks. On the other hand for the anti-Hebbian case, we determine a specific form of the feedback rule as a monomial function of degree 2. In this case, we construct the Lyapunov functional corresponding to the total energy and obtain the desired synchronization estimate using a dissipative property of the Lyapunov functional when the damping is sufficiently large. Moreover, we study a limit system derived from the adaptive dynamics by introducing a small learning rate. Here, we verify that the synchronization can occur with an algebraic rate which has not been observed in literature. Finally, we consider the constant network case in which the phase-locked state arises from the large coupling strength regime.

中文翻译：

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梯度流下the族矩阵上乐合矩阵集合的状态依赖动力学

SIAM应用动力系统杂志，第19卷，第2期，第1080-1123页，2020年1月。
我们研究the集合上矩阵集合的涌现行为，其中每个振荡器的状态受相对距离的影响。因此，耦合强度成为一个与时间有关的函数，并且其时间演变由反馈规则确定，该反馈规则包含了线性阻尼和振荡器之间相对距离的函数。关于紧急行为，我们对适应性法律的类型进行了分类：希伯来语和反希伯来语。对于Hebbian，我们看到一些初始框架出现了指数完全同步。另一方面，对于反希伯来案，我们将反馈规则的特定形式确定为2级的单项函数。在这种情况下，我们构造与总能量相对应的Lyapunov泛函，并在阻尼足够大时使用Lyapunov泛函的耗散特性获得所需的同步估计。此外，我们通过引入较小的学习率来研究源自自适应动力学的极限系统。在这里，我们验证了同步可以以文献中未发现的代数速率发生。最后，我们考虑恒定的网络情况，其中锁相状态是由较大的耦合强度机制引起的。我们验证了同步可以以文献中未发现的代数速率发生。最后，我们考虑恒定的网络情况，其中锁相状态是由较大的耦合强度机制引起的。我们验证了同步可以以文献中未发现的代数速率发生。最后，我们考虑恒定网络情况，其中锁相状态是由较大的耦合强度机制引起的。