The eigenvalues of the Hamming graph $H(n,q)$ are known to be $\lambda_i(n,q)=(q-1)n-qi$, $0\leq i \leq n$. The characterization of equitable 2-partitions of the Hamming graphs $H(n,q)$ with eigenvalue $\lambda_{1}(n,q)$ was obtained by Meyerowitz in [15]. We study the equitable 2-partitions of $H(n,q)$ with eigenvalue $\lambda_{2}(n,q)$. We show that these partitions are reduced to equitable 2-partitions of $H(3,q)$ with eigenvalue $\lambda_{2}(3,q)$ with exception of two constructions.

中文翻译：

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具有第二个特征值的汉明图的公平 2 分区

汉明图 $H(n,q)$ 的特征值已知为 $\lambda_i(n,q)=(q-1)n-qi$, $0\leq i \leq n$。Meyerowitz 在 [15] 中获得了具有特征值 $\lambda_{1}(n,q)$ 的汉明图 $H(n,q)$ 的等价 2 分区的表征。我们研究具有特征值 $\lambda_{2}(n,q)$ 的 $H(n,q)$ 的公平 2-partitions。我们证明这些分区被简化为具有特征值 $\lambda_{2}(3,q)$ 的 $H(3,q)$ 的公平的 2 分区，但有两个结构除外。