Let $(H_{\mathbf{R}},U_t)$ be any strongly continuous orthogonal representation of $\mathbf{R}$ on a real (separable) Hilbert space $H_{\mathbf{R}}$. For any $q\in (-1,1)$, we denote by ${\mathrm{\Gamma }}_q{(H_{\mathbf{R}},U_t)}^{\prime \prime }$ the $q$‐deformed Araki–Woods algebra introduced by Shlyakhtenko and Hiai. In this paper, we prove that ${\mathrm{\Gamma }}_q{(H_{\mathbf{R}},U_t)}^{\prime \prime }$ has trivial bicentralizer if it is a type ${\mathrm{III}}_1$ factor. In particular, we obtain that ${\mathrm{\Gamma }}_q{(H_{\mathbf{R}},U_t)}^{\prime \prime }$ always admits a maximal abelian subalgebra that is the range of a faithful normal conditional expectation. Moreover, using Śniady's work, we derive that ${\mathrm{\Gamma }}_q{(H_{\mathbf{R}},U_t)}^{\prime \prime }$ is a full factor provided that the weakly mixing part of $(H_{\mathbf{R}},U_t)$ is nonzero.

中文翻译：

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q变形的Araki–Woods代数的Connes双中心化问题

让 $（H_{\mathbf{[R}}，{ü}_{Ť}）$ 是...的任何强连续正交表示 $\mathbf{[R}$ 在真实的（可分离的）希尔伯特空间上 $H_{\mathbf{[R}}$。对于任何$q\in （-\mathrm{1个}，\mathrm{1个}）$，我们用 ${\mathrm{\Gamma }}_q{（H_{\mathbf{[R}}，{ü}_{Ť}）}^{\prime \prime }$ 的 $q$Shlyakhtenko和Hiai引入的变形Araki–Woods代数。在本文中，我们证明${\mathrm{\Gamma }}_q{（H_{\mathbf{[R}}，{ü}_{Ť}）}^{\prime \prime }$ 如果类型是平凡的bicentralizer ${\mathrm{三级}}_{\mathrm{1个}}$因子。特别是，我们获得${\mathrm{\Gamma }}_q{（H_{\mathbf{[R}}，{ü}_{Ť}）}^{\prime \prime }$总是接受最大的阿贝尔亚代数，该子代数是忠实的正常条件期望的范围。此外，利用Śniady的工作，我们得出${\mathrm{\Gamma }}_q{（H_{\mathbf{[R}}，{ü}_{Ť}）}^{\prime \prime }$ 是一个充分的因素，前提是 $（H_{\mathbf{[R}}，{ü}_{Ť}）$ 不为零。