Abstract We consider the Karpelevic region Θ n ⊂ C consisting of all eigenvalues of all stochastic matrices of order n. We provide an alternative characterisation of Θ n that sharpens the original description given by Karpelevic. In particular, for each θ ∈ [ 0 , 2 π ) , we identify the point on the boundary of Θ n with argument θ. We further prove that if n ∈ N with n ≥ 2 , and t ∈ Θ n , then t is a subdominant eigenvalue of some stochastic matrix of order n.

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重新审视卡尔佩列维奇地区

摘要 我们考虑由所有 n 阶随机矩阵的所有特征值组成的 Karpelevic 区域 Θ n ⊂ C。我们提供了 Θ n 的另一种表征，它使 Karpelevic 给出的原始描述更加清晰。特别是，对于每个 θ ∈ [ 0 , 2 π ) ，我们用参数 θ 确定 Θ n 边界上的点。我们进一步证明，如果 n ∈ N 且 n ≥ 2 ，并且 t ∈ Θ n ，则 t 是某个 n 阶随机矩阵的次优特征值。