In this paper we develop a new method based on Littlewood-Paley's decomposition and heat kernel estimates in integral form, to establish Schauder's estimate for the following degenerate nonlocal equation in ${\mathbb{R}}^{2d}$ with Hölder coefficients:${\partial }_{t}u={\mathcal{L}}_{\kappa ;\mathrm{v}}^{(\alpha )}u+b\cdot \mathrm{\nabla }u+f,u_0=0,$ where $u=u(t,x,\mathrm{v})$ and ${\mathcal{L}}_{\kappa ;\mathrm{v}}^{(\alpha )}$ is a nonlocal α-stable-like operator with $\alpha \in (1,2)$ and kernel function κ, which acts on the variable v. As an application, we show the strong well-posedness to the following degenerate stochastic differential equation with Hölder drift b:$\mathrm{d}{Z}_t=b(t,Z_t)\mathrm{d}t+(0,\sigma (t,Z_t)\mathrm{d}{L}_t^{(\alpha )}),Z_0=(x,\mathrm{v})\in {\mathbb{R}}^{2d},$ where $L_t^{(\alpha )}$ is a d-dimensional rotationally invariant and symmetric α-stable process with $\alpha \in (1,2)$, and $b:{\mathbb{R}}_{+}\times {\mathbb{R}}^{2d}\to {\mathbb{R}}^{2d}$ is a $(\gamma ,\beta )$-order Hölder continuous function in $(x,\mathrm{v})$ with $\gamma \in (\frac{2+\alpha }{2(1+\alpha )},1)$ and $\beta \in (1-\frac{\alpha }{2},1)$, $\sigma :{\mathbb{R}}_{+}\times {\mathbb{R}}^{2d}\to {\mathbb{R}}^d\otimes {\mathbb{R}}^d$ is a Lipschitz function. Moreover, we also show that for almost all ω, the following random transport equation has a unique $C_b^1$-solution:${\partial }_{t}u(t,x,\omega )+(b(t,x)+L_t^{(\alpha )}(\omega ))\cdot {\mathrm{\nabla }}_{x}u(t,x,\omega )=0,u(0,x)=\phi (x),$ where $\phi \in C_b^1({\mathbb{R}}^d)$ and $b:{\mathbb{R}}_{+}\times {\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^d$ is a bounded continuous function of $(t,x)$ and γ-order Hölder continuous in x uniformly in t with $\gamma \in (\frac{2+\alpha }{2(1+\alpha )},1)$.

在本文中，我们开发了一种基于Littlewood-Paley分解和积分形式的热核估计的新方法，以为下面的退化非局部方程建立Schauder估计。 ${\mathbb{[R}}^{2d}$ 带有霍尔德系数：${\partial }_{Ť}ü={\mathcal{大号}}_{\kappa ;\mathrm{v}}^{（\alpha ）}ü+b\cdot \mathrm{\nabla }ü+F，{ü}_0=0，$ 哪里 $ü=ü（Ť，X，\mathrm{v}）$ 和 ${\mathcal{大号}}_{\kappa ;\mathrm{v}}^{（\alpha ）}$是一个非局部α稳定样算子，具有$\alpha \in （\mathrm{1个}，2）$以及作用于变量v的核函数κ。作为一个应用，我们证明了其对以下具有Hölder漂移b的退化随机微分方程的强适定性：$\mathrm{d}{ž}_{Ť}=b（Ť，{ž}_{Ť}）\mathrm{d}Ť+（0，\sigma （Ť，{ž}_{Ť}）\mathrm{d}{\mathrm{大号}}_{Ť}^{（\alpha ）}），{ž}_0=（X，\mathrm{v}）\in {\mathbb{[R}}^{2d}，$ 哪里 ${\mathrm{大号}}_{Ť}^{（\alpha ）}$是一个d维旋转不变且对称的α稳定过程，具有$\alpha \in （\mathrm{1个}，2）$和 $b：{\mathbb{[R}}_{+}\times {\mathbb{[R}}^{2d}\to {\mathbb{[R}}^{2d}$ 是一个 $（\gamma ，\beta ）$阶Hölder连续函数 $（X，\mathrm{v}）$ 与 $\gamma \in （\frac{2+\alpha }{2（\mathrm{1个}+\alpha ）}，\mathrm{1个}）$ 和 $\beta \in （\mathrm{1个}-\frac{\alpha }{2}，\mathrm{1个}）$， $\sigma ：{\mathbb{[R}}_{+}\times {\mathbb{[R}}^{2d}\to {\mathbb{[R}}^d\otimes {\mathbb{[R}}^d$是Lipschitz函数。此外，我们还表明，对于几乎所有的ω，下面的随机输运方程都有一个唯一的$C_b^{\mathrm{1个}}$-解：${\partial }_{Ť}ü（Ť，X，\omega ）+（b（Ť，X）+{\mathrm{大号}}_{Ť}^{（\alpha ）}（\omega ））\cdot {\mathrm{\nabla }}_Xü（Ť，X，\omega ）=0，ü（0，X）=\phi （X），$ 哪里 $\phi \in C_b^{\mathrm{1个}}（{\mathbb{[R}}^d）$ 和 $b：{\mathbb{[R}}_{+}\times {\mathbb{[R}}^d\to {\mathbb{[R}}^d$ 是...的有界连续函数 $（Ť，X）$和γ阶赫尔德连续在X均匀地吨与$\gamma \in （\frac{2+\alpha }{2（\mathrm{1个}+\alpha ）}，\mathrm{1个}）$。