We consider the following Liouville system:$\{\begin{array}{c}-\mathrm{\Delta }{v}_1=2e^{v_1}+\mu e^{v_2}+4\pi \sum _{l=1}^m{\beta }_{1,l}{\delta }_{P_l}\text{in}{\mathbb{R}}^2,\hfill \\ -\mathrm{\Delta }{v}_2=2e^{v_2}+\mu e^{v_1}+4\pi \sum _{l=1}^m{\beta }_{2,l}{\delta }_{P_l}\text{in}{\mathbb{R}}^2,\hfill \\ {\int }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{v_1}dx<+\infty ,{\int }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{v_2}dx<+\infty ,\hfill \end{array}$ where $\sum _{1=l}^m{\beta }_{1,l}=\sum _{l=1}^m{\beta }_{2,l}$. We show the existence of global branches of non-radial solutions with $m=1$, bifurcating from $v_1(x)=v_2(x)=-2\alpha \log |x-P_1|+\log \frac{64{(1-\alpha )}^2}{(2+\mu ){(8+|x-P_1{|}^{2(1-\alpha )})}^2}$ at the values $\mu =-2\frac{n^2+n-2}{n^2+n+2}$ for some special $n\in \mathbb{N}$ and ${\beta }_{1,1}={\beta }_{2,1}=\alpha$. We also show the existence and non-existence results with $m\ge 3$, under some suitable assumptions on ${\beta }_{1,l},{\beta }_{2,l}$ for $l=1,\dots ,m$.

中文翻译：

---

Liouville方程和系统的存在结果

我们考虑以下Liouville系统：$\{\begin{array}{c}-\mathrm{\Delta }{v}_{\mathrm{1个}}=2{Ë}^{v_{\mathrm{1个}}}+\mu {Ë}^{v_2}+4\pi \sum _{升=\mathrm{1个}}^{米}{\beta }_{\mathrm{1个}，升}{\delta }_{P_{升}}\text{在}{\mathbb{[R}}^2，\hfill \\ -\mathrm{\Delta }{v}_2=2{Ë}^{v_2}+\mu {Ë}^{v_{\mathrm{1个}}}+4\pi \sum _{升=\mathrm{1个}}^{米}{\beta }_{2，升}{\delta }_{P_{升}}\text{在}{\mathbb{[R}}^2，\hfill \\ {\int }_{{\mathbb{[R}}^2}{Ë}^{v_{\mathrm{1个}}}dX<+\infty ，{\int }_{{\mathbb{[R}}^2}{Ë}^{v_2}dX<+\infty ，\hfill \end{array}$ 哪里 $\sum _{\mathrm{1个}=升}^{米}{\beta }_{\mathrm{1个}，升}=\sum _{升=\mathrm{1个}}^{米}{\beta }_{2，升}$。我们证明存在非径向解的全局分支$米=\mathrm{1个}$，从 $v_{\mathrm{1个}}（X）=v_2（X）=-2\alpha \mathrm{日志}|X-P_{\mathrm{1个}}|+\mathrm{日志}\frac{64{（\mathrm{1个}-\alpha ）}^2}{（2+\mu ）{（8+|X-P_{\mathrm{1个}}{|}^{2（\mathrm{1个}-\alpha ）}）}^2}$ 在价值 $\mu =-2\frac{{ñ}^2+ñ-2}{{ñ}^2+ñ+2}$ 对于一些特殊的 $ñ\in \mathbb{ñ}$ 和 ${\beta }_{\mathrm{1个}，\mathrm{1个}}={\beta }_{2，\mathrm{1个}}=\alpha$。我们还显示了存在和不存在的结果$米\ge 3$，在以下适当假设下 ${\beta }_{\mathrm{1个}，升}，{\beta }_{2，升}$ 对于 $升=\mathrm{1个}，\dots ，米$。