Let $\mathbb{X}$ be the set of all metrics on ω, and let ${\mathbb{X}}_{\mathrm{cpt}}$ be the set of all metrics r on ω such that the completion of $(\omega ,r)$ is compact. We define the Cauchy sequence equivalence relation $E_{\mathrm{cs}}$ on $\mathbb{X}$ as: $r{E}_{\mathrm{cs}}s$ iff the set of Cauchy sequences in $(\omega ,r)$ is same as in $(\omega ,s)$. We also denote $E_{\csc }=E_{\mathrm{cs}}\upharpoonright {\mathbb{X}}_{\mathrm{cpt}}$.

We show that $E_{\mathrm{cs}}$ is a ${\mathbf{\Pi }}_1^1$-complete equivalence relation, while $E_{\csc }$ is a ${\mathbf{\Pi }}_3^0$ equivalence relation. We also show that $E_{\csc }$ is Borel bireducible to an orbit equivalence relation. Furthermore, we investigate the Borel reducibility between $E_{\csc }$ and some benchmark equivalence relations. For instance, we show that ${=}^{+}$ and ${\mathbb{R}}^{\omega }/c_0$ are Borel reducible to $E_{\csc }$, and $E_1$ is not. Restrictions of $E_{\csc }$ on some special invariant subsets of ${\mathbb{X}}_{\mathrm{cpt}}$ are also considered.

让 $\mathbb{X}$是ω上所有度量的集合，并令${\mathbb{X}}_{\mathrm{cpt}}$是集合所有指标[R对ω使得完成$（\omega ，\mathrm{[R}）$紧凑。我们定义柯西序列等价关系${Ë}_{\mathrm{cs}}$ 上 $\mathbb{X}$ 如： $\mathrm{[R}{Ë}_{\mathrm{cs}}s$ 如果在其中的柯西序列集 $（\omega ，\mathrm{[R}）$ 与中相同 $（\omega ，s）$。我们也表示${Ë}_{\csc }={Ë}_{\mathrm{cs}}\upharpoonright {\mathbb{X}}_{\mathrm{cpt}}$。

我们证明 ${Ë}_{\mathrm{cs}}$ 是一个 ${\mathbf{\Pi }}_{\mathrm{1个}}^{\mathrm{1个}}$-完全等价关系，而 ${Ë}_{\csc }$ 是一个 ${\mathbf{\Pi }}_3^0$等价关系。我们还表明${Ë}_{\csc }$Borel可归约为一个轨道等价关系。此外，我们研究了${Ë}_{\csc }$以及一些基准等效关系。例如，我们表明${=}^{+}$ 和 ${\mathbb{[R}}^{\omega }/C_0$ Borel可还原为 ${Ë}_{\csc }$和 ${Ë}_{\mathrm{1个}}$不是。的限制${Ë}_{\csc }$ 在...的一些特殊不变子集上 ${\mathbb{X}}_{\mathrm{cpt}}$ 也被考虑。