Let $${\mathbb {F}}$$ F be a field. The set $$M_{n}({\mathbb {F}})$$ M n ( F ) of all $$n \times n$$ n × n matrices over $${\mathbb {F}}$$ F forms a monoid under usual matrix multiplication. We explore and classify all maximal inverse monoids in $$M_{n}({\mathbb {F}})$$ M n ( F ) . Given a partition of $$\{1,\ldots ,n\}$$ { 1 , … , n } , we construct a maximal matrix inverse monoid as a direct sum of some block matrices and show that every maximal inverse monoid is such a matrix inverse monoid associated to a partition of $$\{1,\ldots ,n\}$$ { 1 , … , n } up to isomorphism.

中文翻译：

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矩阵的极大逆幺半群的分类

令 $${\mathbb {F}}$$ F 是一个字段。$${\mathbb {F}}$$ 上所有 $$n \times n$$ n × n 个矩阵的集合 $$M_{n}({\mathbb {F}})$$ M n ( F ) F 在通常的矩阵乘法下形成幺半群。我们探索和分类 $$M_{n}({\mathbb {F}})$$ M n ( F ) 中的所有最大逆幺半群。给定 $$\{1,\ldots ,n\}$$ { 1 , … , n } 的分区，我们构造一个最大矩阵逆幺半群作为一些块矩阵的直接和，并证明每个最大逆幺半群都是这样的与 $$\{1,\ldots ,n\}$$ { 1 , … , n } 的分区相关联的矩阵逆幺半群直到同构。