We address counting and optimization variants of multicriteria global min-cut and size-constrained min-$k$-cut in hypergraphs. 1. For an $r$-rank $n$-vertex hypergraph endowed with $t$ hyperedge-cost functions, we show that the number of multiobjective min-cuts is $O(r2^{tr}n^{3t-1})$. In particular, this shows that the number of parametric min-cuts in constant rank hypergraphs for a constant number of criteria is strongly polynomial, thus resolving an open question by Aissi, Mahjoub, McCormick, and Queyranne (Math Programming, 2015). In addition, we give randomized algorithms to enumerate all multiobjective min-cuts and all pareto-optimal cuts in strongly polynomial-time. 2. We also address node-budgeted multiobjective min-cuts: For an $n$-vertex hypergraph endowed with $t$ vertex-weight functions, we show that the number of node-budgeted multiobjective min-cuts is $O(r2^{r}n^{t+2})$, where $r$ is the rank of the hypergraph, and the number of node-budgeted $b$-multiobjective min-cuts for a fixed budget-vector $b$ is $O(n^2)$. 3. We show that min-$k$-cut in hypergraphs subject to constant lower bounds on part sizes is solvable in polynomial-time for constant $k$, thus resolving an open problem posed by Queyranne. Our technique also shows that the number of optimal solutions is polynomial. All of our results build on the random contraction approach of Karger (SODA, 1993). Our techniques illustrate the versatility of the random contraction approach to address counting and algorithmic problems concerning multiobjective min-cuts and size-constrained $k$-cuts in hypergraphs.

中文翻译：

---

超图中的多准则切割和大小受限的 $k$-切割

我们解决了超图中多标准全局最小切割和大小受限最小-$k$-cut 的计数和优化变体。1. 对于 $r$-rank $n$-顶点超图，赋予 $t$ 超边成本函数，我们证明多目标最小割的数量是 $O(r2^{tr}n^{3t-1 })$。特别是，这表明对于恒定数量的标准，恒定秩超图中的参数化最小割数是强多项式，因此解决了 Aissi、Mahjoub、McCormick 和 Queyranne（数学编程，2015 年）的一个悬而未决的问题。此外，我们给出了随机算法以在强多项式时间内枚举所有多目标最小切割和所有帕累托最优切割。2. 我们还解决了节点预算的多目标最小割：对于一个 $n$-顶点超图，它赋予了 $t$ 顶点权重函数，我们表明，节点预算的多目标最小割次数为 $O(r2^{r}n^{t+2})$，其中 $r$ 是超图的秩，节点预算的数量为固定预算向量 $b$ 的 $b$-multiobjective min-cuts 是 $O(n^2)$。3. 我们证明了超图中的 min-$k$-cut 受零件尺寸的恒定下限影响，对于常数 $k$，在多项式时间内是可解的，从而解决了 Queyranne 提出的一个开放问题。我们的技术还表明，最优解的数量是多项式的。我们所有的结果都建立在 Karger (SODA, 1993) 的随机收缩方法之上。我们的技术说明了随机收缩方法的多功能性，可以解决与超图中多目标最小切割和大小受限的 $k$-cuts 相关的计数和算法问题。其中 $r$ 是超图的等级，固定预算向量 $b$ 的节点预算 $b$-multiobjective min-cuts 的数量是 $O(n^2)$。3. 我们证明了超图中的 min-$k$-cut 受零件尺寸的恒定下限影响，对于常数 $k$，在多项式时间内是可解的，从而解决了 Queyranne 提出的一个开放问题。我们的技术还表明，最优解的数量是多项式的。我们所有的结果都建立在 Karger (SODA, 1993) 的随机收缩方法之上。我们的技术说明了随机收缩方法的多功能性，可以解决与超图中多目标最小切割和大小受限的 $k$-cuts 相关的计数和算法问题。其中 $r$ 是超图的等级，固定预算向量 $b$ 的节点预算 $b$-multiobjective min-cuts 的数量是 $O(n^2)$。3. 我们证明了超图中的 min-$k$-cut 受零件尺寸的恒定下限影响，对于常数 $k$，在多项式时间内是可解的，从而解决了 Queyranne 提出的一个开放问题。我们的技术还表明，最优解的数量是多项式的。我们所有的结果都建立在 Karger (SODA, 1993) 的随机收缩方法之上。我们的技术说明了随机收缩方法的多功能性，可以解决与超图中多目标最小切割和大小受限的 $k$-cuts 相关的计数和算法问题。我们表明，受零件尺寸恒定下界影响的超图中的 min-$k$-cut 可以在多项式时间内求解常数 $k$，从而解决了 Queyranne 提出的一个开放问题。我们的技术还表明，最优解的数量是多项式的。我们所有的结果都建立在 Karger (SODA, 1993) 的随机收缩方法之上。我们的技术说明了随机收缩方法的多功能性，可以解决与超图中多目标最小切割和大小受限的 $k$-cuts 相关的计数和算法问题。我们表明，受零件尺寸恒定下界影响的超图中的 min-$k$-cut 可以在多项式时间内求解常数 $k$，从而解决了 Queyranne 提出的一个开放问题。我们的技术还表明，最优解的数量是多项式的。我们所有的结果都建立在 Karger (SODA, 1993) 的随机收缩方法之上。我们的技术说明了随机收缩方法的多功能性，可以解决与超图中多目标最小切割和大小受限的 $k$-cuts 相关的计数和算法问题。