We consider numeration systems based on a $d$-tuple $\mathbf{U}=(U_1,\ldots,U_d)$ of sequences of integers and we define $(\mathbf{U},\mathbb{K})$-regular sequences through $\mathbb{K}$-recognizable formal series, where $\mathbb{K}$ is any semiring. We show that, for any $d$-tuple $\mathbf{U}$ of Pisot numeration systems and any commutative semiring $\mathbb{K}$, this definition does not depend on the greediness of the $\mathbf{U}$-representations of integers. The proof is constructive and is based on the fact that the normalization is realizable by a $2d$-tape finite automaton. In particular, we use an ad hoc operation mixing a $2d$-tape automaton and a $\mathbb{K}$-automaton in order to obtain a new $\mathbb{K}$-automaton.

中文翻译：

---

Pisot-正则序列的鲁棒性

我们考虑基于 $d$-tuple $\mathbf{U}=(U_1,\ldots,U_d)$ 的整数序列的计数系统，我们定义 $(\mathbf{U},\mathbb{K})$ -通过 $\mathbb{K}$-可识别的形式级数的正则序列，其中 $\mathbb{K}$ 是任何半环。我们证明，对于 Pisot 计算系统的任何 $d$-元组 $\mathbf{U}$ 和任何交换半环 $\mathbb{K}$，这个定义不依赖于 $\mathbf{U} $ - 整数的表示。证明是建设性的，并且基于这样一个事实，即规范化可以通过 $2d$-tape 有限自动机实现。特别地，我们使用混合 $2d$-tape 自动机和 $\mathbb{K}$-自动机的临时操作以获得新的 $\mathbb{K}$-自动机。