For $$\gamma \in (0,2)$$ γ ∈ ( 0 , 2 ) , we define a weak $$\gamma $$ γ - Liouville quantum gravity ( LQG ) metric to be a function $$h\mapsto D_h$$ h ↦ D h which takes in an instance of the planar Gaussian free field and outputs a metric on the plane satisfying a certain list of natural axioms. We show that these axioms are satisfied for any subsequential limits of Liouville first passage percolation. Such subsequential limits were proven to exist by Ding et al. (Tightness of Liouville first passage percolation for $$\gamma \in (0,2)$$ γ ∈ ( 0 , 2 ) , 2019. ArXiv e-prints, arXiv:1904.08021 ). It is also known that these axioms are satisfied for the $$\sqrt{8/3}$$ 8 / 3 -LQG metric constructed by Miller and Sheffield (2013–2016). For any weak $$\gamma $$ γ -LQG metric, we obtain moment bounds for diameters of sets as well as point-to-point, set-to-set, and point-to-set distances. We also show that any such metric is locally bi-Hölder continuous with respect to the Euclidean metric and compute the optimal Hölder exponents in both directions. Finally, we show that LQG geodesics cannot spend a long time near a straight line or the boundary of a metric ball. These results are used in subsequent work by Gwynne and Miller which proves that the weak $$\gamma $$ γ -LQG metric is unique for each $$\gamma \in (0,2)$$ γ ∈ ( 0 , 2 ) , which in turn gives the uniqueness of the subsequential limit of Liouville first passage percolation. However, most of our results are new even in the special case when $$\gamma =\sqrt{8/3}$$ γ = 8 / 3 .

中文翻译：

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弱 LQG 指标和 Liouville 第一通道渗透

对于 $$\gamma \in (0,2)$$ γ ∈ ( 0 , 2 ) ，我们将弱 $$\gamma $$ γ - Liouville 量子引力 (LQG) 度量定义为函数 $$h\mapsto D_h$$ h ↦ D h 接受平面高斯自由场的一个实例并输出满足特定自然公理列表的平面上的度量。我们证明这些公理对于 Liouville 第一通道渗透的任何后续限制都满足。Ding 等人证明了这种后续限制存在。（Liouville 第一通道渗流的紧密度 $$\gamma \in (0,2)$$ γ ∈ ( 0 , 2 ) ，2019。ArXiv 电子版，arXiv:1904.08021）。众所周知，这些公理满足由 Miller 和 Sheffield (2013–2016) 构建的 $$\sqrt{8/3}$$ 8 / 3 -LQG 度量标准。对于任何弱 $$\gamma $$ γ -LQG 度量，我们获得集合直径和点对点的矩界，设置到设置和点到设置的距离。我们还表明，任何此类度量对于欧几里德度量都是局部双 Hölder 连续的，并计算两个方向上的最佳 Hölder 指数。最后，我们表明 LQG 测地线不能在直线或公制球的边界附近花费很长时间。这些结果用于 Gwynne 和 Miller 的后续工作，证明弱 $$\gamma $$ γ -LQG 度量对于每个 $$\gamma \in (0,2)$$ γ ∈ ( 0 , 2 ) 是唯一的，这反过来又给出了 Liouville 第一通道渗流的后续极限的唯一性。然而，即使在 $$\gamma =\sqrt{8/3}$$ γ = 8 / 3 的特殊情况下，我们的大多数结果也是新的。我们还表明，任何此类度量对于欧几里德度量都是局部双 Hölder 连续的，并计算两个方向上的最佳 Hölder 指数。最后，我们表明 LQG 测地线不能在直线或公制球的边界附近花费很长时间。这些结果用于 Gwynne 和 Miller 的后续工作，证明弱 $$\gamma $$ γ -LQG 度量对于每个 $$\gamma \in (0,2)$$ γ ∈ ( 0 , 2 ) 是唯一的，这反过来又给出了 Liouville 第一通道渗流的后续极限的唯一性。然而，即使在 $$\gamma =\sqrt{8/3}$$ γ = 8 / 3 的特殊情况下，我们的大多数结果也是新的。我们还表明，任何此类度量对于欧几里德度量都是局部双 Hölder 连续的，并计算两个方向上的最佳 Hölder 指数。最后，我们表明 LQG 测地线不能在直线或公制球的边界附近花费很长时间。这些结果用于 Gwynne 和 Miller 的后续工作，证明弱 $$\gamma $$ γ -LQG 度量对于每个 $$\gamma \in (0,2)$$ γ ∈ ( 0 , 2 ) 是唯一的，这反过来又给出了 Liouville 第一通道渗流的后续极限的唯一性。然而，即使在 $$\gamma =\sqrt{8/3}$$ γ = 8 / 3 的特殊情况下，我们的大多数结果也是新的。这些结果用于 Gwynne 和 Miller 的后续工作，证明弱 $$\gamma $$ γ -LQG 度量对于每个 $$\gamma \in (0,2)$$ γ ∈ ( 0 , 2 ) 是唯一的，这反过来又给出了 Liouville 第一通道渗流的后续极限的唯一性。然而，即使在 $$\gamma =\sqrt{8/3}$$ γ = 8 / 3 的特殊情况下，我们的大多数结果也是新的。这些结果用于 Gwynne 和 Miller 的后续工作，证明弱 $$\gamma $$ γ -LQG 度量对于每个 $$\gamma \in (0,2)$$ γ ∈ ( 0 , 2 ) 是唯一的，这反过来又给出了 Liouville 第一通道渗流的后续极限的唯一性。然而，即使在 $$\gamma =\sqrt{8/3}$$ γ = 8 / 3 的特殊情况下，我们的大多数结果也是新的。