We introduce a new iterative rounding technique to round a point in a matroid polytope subject to further matroid constraints. This technique returns an independent set in one matroid with limited violations of the constraints of the other matroids. In addition to the classical steps of iterative relaxation approaches, we iteratively refine involved matroid constraints. This leads to more restrictive constraint systems whose structure can be exploited to prove the existence of constraints that can be dropped. Hence, throughout the iterations, we both tighten constraints and later relax them by dropping constraints under certain conditions. Due to the refinement step, we can deal with considerably more general constraint classes than existing iterative relaxation and rounding methods, which typically involve a single matroid polytope with additional simple cardinality constraints that do not overlap too much. We show that our rounding method, combined with an application of a matroid intersection algorithm, yields the first 2-approximation for finding a maximum-weight common independent set in 3 matroids. Moreover, our 2-approximation is LP-based and settles the integrality gap for the natural relaxation of the problem. Prior to our work, no upper bound better than 3 was known for the integrality gap, which followed from the greedy algorithm. We also discuss various other applications of our techniques, including an extension that allows us to handle a mixture of matroid and knapsack constraints.

中文翻译：

---

通过迭代细化逼近多拟阵交点

我们引入了一种新的迭代舍入技术来舍入受进一步拟阵约束的拟阵多胞体中的一个点。这种技术在一个拟阵中返回一个独立的集合，对其他拟阵的约束有有限的违反。除了迭代松弛方法的经典步骤之外，我们还迭代改进了所涉及的拟阵约束。这导致了更具限制性的约束系统，其结构可用于证明可以删除的约束的存在。因此，在整个迭代过程中，我们既收紧约束，又在某些条件下通过删除约束来放松约束。由于细化步骤，我们可以处理比现有迭代松弛和舍入方法更多的一般约束类，这通常涉及单个拟阵多胞体，并带有额外的简单基数约束，这些约束不会重叠太多。我们表明，我们的舍入方法与拟阵相交算法的应用相结合，产生了第一个 2-近似值，用于在 3 个拟阵中找到最大权重公共独立集。此外，我们的 2-近似是基于 LP 的，并解决了问题自然松弛的完整性差距。在我们的工作之前，对于来自贪心算法的完整性差距，没有比 3 更好的上限已知。我们还讨论了我们技术的各种其他应用，包括允许我们处理拟阵和背包约束混合的扩展。结合拟阵相交算法的应用，产生第一个 2-近似，用于在 3 个拟阵中找到最大权重公共独立集。此外，我们的 2-近似是基于 LP 的，并解决了问题自然松弛的完整性差距。在我们的工作之前，对于来自贪心算法的完整性差距，没有比 3 更好的上限已知。我们还讨论了我们技术的各种其他应用，包括允许我们处理拟阵和背包约束混合的扩展。结合拟阵相交算法的应用，产生第一个 2-近似，用于在 3 个拟阵中找到最大权重公共独立集。此外，我们的 2-近似是基于 LP 的，并解决了问题自然松弛的完整性差距。在我们的工作之前，对于来自贪婪算法的完整性差距，没有比 3 更好的上限已知。我们还讨论了我们技术的各种其他应用，包括允许我们处理拟阵和背包约束混合的扩展。对于从贪婪算法得出的完整性差距，没有比 3 更好的上限已知。我们还讨论了我们技术的各种其他应用，包括允许我们处理拟阵和背包约束混合的扩展。对于从贪婪算法得出的完整性差距，没有比 3 更好的上限已知。我们还讨论了我们技术的各种其他应用，包括允许我们处理拟阵和背包约束混合的扩展。