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Lower semicontinuity for the Helfrich problem
Annals of Global Analysis and Geometry ( IF 0.7 ) Pub Date : 2020-06-15 , DOI: 10.1007/s10455-020-09718-5 Sascha Eichmann
Annals of Global Analysis and Geometry ( IF 0.7 ) Pub Date : 2020-06-15 , DOI: 10.1007/s10455-020-09718-5 Sascha Eichmann
We minimise the Canham–Helfrich energy in the class of closed immersions with prescribed genus, surface area, and enclosed volume. Compactness is achieved in the class of oriented varifolds. The main result is a lower-semicontinuity estimate for the minimising sequence, which is in general false under varifold convergence by a counter example by Große-Brauckmann. The main argument involved is showing partial regularity of the limit. It entails comparing the Helfrich energy of the minimising sequence locally to that of a biharmonic graph. This idea is by Simon, but it cannot be directly applied, since the area and enclosed volume of the graph may differ. By an idea of Schygulla we adjust these quantities by using a two parameter diffeomorphism of $${{\mathbb {R}}}^3$$ R 3 .
中文翻译:
Helfrich 问题的下半连续性
我们在具有指定属、表面积和封闭体积的封闭浸入类中最小化 Canham-Helfrich 能量。紧凑性是在定向变量类中实现的。主要结果是最小化序列的下半连续性估计,通过 Große-Brauckmann 的反例,在可变收敛下通常是错误的。涉及的主要论点是显示极限的部分规律性。它需要将局部最小化序列的 Helfrich 能量与双调和图的能量进行比较。这个想法是西蒙提出的,但不能直接应用,因为图形的面积和封闭体积可能不同。根据 Schygulla 的想法,我们通过使用 $${{\mathbb {R}}}^3$$ R 3 的两个参数微分同胚来调整这些量。
更新日期:2020-06-15
中文翻译:
Helfrich 问题的下半连续性
我们在具有指定属、表面积和封闭体积的封闭浸入类中最小化 Canham-Helfrich 能量。紧凑性是在定向变量类中实现的。主要结果是最小化序列的下半连续性估计,通过 Große-Brauckmann 的反例,在可变收敛下通常是错误的。涉及的主要论点是显示极限的部分规律性。它需要将局部最小化序列的 Helfrich 能量与双调和图的能量进行比较。这个想法是西蒙提出的,但不能直接应用,因为图形的面积和封闭体积可能不同。根据 Schygulla 的想法,我们通过使用 $${{\mathbb {R}}}^3$$ R 3 的两个参数微分同胚来调整这些量。